Математика примеры решения задач РЯДЫ

Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Несобственный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Физика решение задач
Механика
Молекулярная физика и термодинамика
http://kursmt.ru/
Электростатика
Электрический ток
Электромагнетизм
Колебания и волны
Основные законы оптики
Атомная физика
Полупроводники
Ядерная физика
Электроника
http://kursmat.ru/
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ ДИОДЫ
ДИОДЫ С РЕЗКИМ ВОССАНОВЛЕНИЕМ ОБРАТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДИОДЫ ШОТТКИ
Стабилитроны
ШУМОВЫЕ ДИОДЫ
ОБРАЩЕННЫЕ ДИОДЫ
Электротехника
Методы расчета электрических цепей
Трехфазные нагрузочные цепи
Генератор постоянного тока
Пуск синхронного двигателя
Полупроводниковые выпрямители
Усилители постоянного тока
Ферромагнитные материалы
Вычислить напряженность магнитного поля
Математика
Вычислить несобственный интеграл
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Степенные ряды

 Степенным рядом называются ряды вида

,

где  – коэффициенты степенного ряда,  – центр ряда.

 Подставим в степенной ряд произвольное значение . Если полученный при этом числовой ряд сходится, то х называют точкой сходимости степенного ряда, если расходится, то х называют точкой расходимости степенного ряда. Множество всех точек сходимости образует область сходимости D степенного ряда. Отметим, что ¯, так как центр ряда  всегда содержится в D.

 Для каждого степенного ряда существует число , называемое радиусом сходимости, такое, что при  этот ряд сходится абсолютно, а при  расходится. Интервал  называют интервалом сходимости степенного ряда. Вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. в точках   решается в каждом конкретном случае отдельных исследованием.

 Для определения радиуса сходимости R можно использовать формулы, следующие из признаков Даламбера и Коши:

  или ,

если в правых частях равенств существуют конечные или бесконечные пределы.

 Пример 6.7. Найти область сходимости ряда

 .

 Решение. Это степенной ряд с коэффициентами , центром ряда . Определим радиус сходимости.

 

 .

 Следовательно ряд сходится в интервале  и расходится при . Проведем исследование на концах интервала сходимости.

 При  получаем обобщенный гармонический ряд ,  и, следовательно, ряд расходится. Точку  не включаем в область сходимости.

 При  получаем знакочередующийся ряд , который сходится условно по признаку Лейбница. Точку  включаем в область сходимости.

 Область сходимости .

 Пример 6.8. Найти область сходимости ряда

 .

 Решение. Это степенной ряд с коэффициентами , центром ряда . Определим радиус сходимости.

 .

Следовательно ряд сходится в интервале  и расходится при . Проведем исследование на концах интервала сходимости.

При  получаем числовой ряд , для которого

,

т. е. нарушен необходимый признак сходимости.

При  получаем знакочередующийся  числовой ряд , для которого аналогично

.

 Следовательно, точки  не включаем в область сходимости.

Область сходимости .

Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Две задачи математического анализа

На главную