Уравнения с разделяющимися переменными.
Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.
А. Уравнение с разделенными переменными
Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:
(1)
Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал.
и
– заданные функции.
Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение
. (2)
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
или
– общий интеграл.
Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию
будет функция
, определенная из равенства
. (4)
Пример. Найти решение уравнения
, удовлетворяющего условию
Решение.
.
В. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
(5)
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение
. Тогда получим:
. (6)
Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение
, именно
или
. (7)
Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно
. Его решением служат
,
, … и т.д. Заметим, что константы
служат решениями уравнения (5), т.к.
и
.
Общим интегралом (5) будет
. (8)
Если решения
получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.
Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.
Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию
будет функция
, определенная уравнением:
. (9)
Пример. Для уравнения
найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию
.
Решение.
а) Общий интеграл. Делим на
.
.
Отсюда
или
– общий интеграл.
б) Частное решение.
Частное решение:
.
с) Особое решение.
Возможна потеря решений. Оба эти решения особые.
| На главную |