Дифференциальные уравнения

Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Несобственный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

 (1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал.  и  – заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение.  или  – общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию  будет функция, определенная из равенства .  (4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение. .

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:  (5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим: . (6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именно  или . (7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат ,, … и т.д. Заметим, что константы   служат решениями уравнения (5), т.к.  и .

Общим интегралом (5) будет . (8)

Если решения  получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию   будет функция , определенная уравнением:

. (9)

Пример. Для уравнения  найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на .

Отсюда  или  – общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.


Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.

На главную