Математика примеры решения задач Интегралы

Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Несобственный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Физика решение задач
Механика
Молекулярная физика и термодинамика
http://kursmt.ru/
Электростатика
Электрический ток
Электромагнетизм
Колебания и волны
Основные законы оптики
Атомная физика
Полупроводники
Ядерная физика
Электроника
http://kursmat.ru/
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ ДИОДЫ
ДИОДЫ С РЕЗКИМ ВОССАНОВЛЕНИЕМ ОБРАТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДИОДЫ ШОТТКИ
Стабилитроны
ШУМОВЫЕ ДИОДЫ
ОБРАЩЕННЫЕ ДИОДЫ
Электротехника
Методы расчета электрических цепей
Трехфазные нагрузочные цепи
Генератор постоянного тока
Пуск синхронного двигателя
Полупроводниковые выпрямители
Усилители постоянного тока
Ферромагнитные материалы
Вычислить напряженность магнитного поля
Математика
Вычислить несобственный интеграл
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Несобственный интеграл 1-го рода.

Определение 1. Пусть функция  определена на промежутке  и интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 1-го рода от функции  на промежутке.

Определение 2. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот несобственный интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (1)

Отметим, что для расходящегося несобственного интеграла либо , либо  не существует.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

а). Имеем

 .

Отсюда следует, что  сходится при  и расходится при .

б). Тогда

Таким образом, интеграл I (1) расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Имеем

 - не существует.

Ответ: интеграл  расходится.

Аналогично интегралу  определяются следующие интегралы:

, (2)

, (3)

причем интеграл в левой части (3) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (3)

1.2. Несобственный интеграл 2-го рода.

Определение 3. Пусть функция  определена на конечном промежутке , интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 2-го рода от функции  на промежутке .

Определение 4. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (4)

Отметим, что определение 4 сходящегося несобственного интеграла 2-го рода на промежутке  является содержательным лишь в том случае, когда функция  неограничена на любом интервале . Действительно, если функция  интегрируема (в смысле Римана) на любом отрезке , ограничена на , то, доопределив  в точке , получим функцию, интегрируемую по Риману на отрезке , причем интеграл Римана от этой функции равен пределу в правой части (4) и не зависит от . Поэтому при рассмотрении несобственных интегралов 2-го рода на промежутке  будем считать, что функция   неограничена на любом интервале .

Определение 5. Точка  числовой оси называется особой точкой подынтегральной функции  (см. (4)), если на любом интервале  она является неограниченной.

Аналогично интегралу (4) определяются интегралы:

 - особая точка,

 - особая точка.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. а) . Имеем

Отсюда следует, что интеграл  сходится при  и расходится при .

 б) .

Таким образом, интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Другие типы несобственных интегралов.

Определение 6. Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке   за исключением точек , где . Тогда по определению несобственный интеграл

. (5)

Определение 7. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой чисти (5). В противном случае интеграл  называется расходящимся.

В дальнейшем мы будем рассматривать несобственные интегралы вида   в предположении, что:

а) функция  определена при , где  - либо конечная точка, либо ;

б) функция  интегрируема по Риману на любом отрезке .

Тогда по определению сходящегося несобственного интеграла:

 (несобственный интеграл 1-го рода),

 (несобственный интеграл 2-го рода).

Интегрирование рациональных дробей Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

На главную