Математика примеры решения задач Интегралы

Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Несобственный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Физика решение задач
Механика
Молекулярная физика и термодинамика
http://kursmt.ru/
Электростатика
Электрический ток
Электромагнетизм
Колебания и волны
Основные законы оптики
Атомная физика
Полупроводники
Ядерная физика
Электроника
http://kursmat.ru/
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ ДИОДЫ
ДИОДЫ С РЕЗКИМ ВОССАНОВЛЕНИЕМ ОБРАТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДИОДЫ ШОТТКИ
Стабилитроны
ШУМОВЫЕ ДИОДЫ
ОБРАЩЕННЫЕ ДИОДЫ
Электротехника
Методы расчета электрических цепей
Трехфазные нагрузочные цепи
Генератор постоянного тока
Пуск синхронного двигателя
Полупроводниковые выпрямители
Усилители постоянного тока
Ферромагнитные материалы
Вычислить напряженность магнитного поля
Математика
Вычислить несобственный интеграл
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Исследовать сходимость интеграла.

а) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода, подынтегральная функция положительна при любом . Кроме того,  при .

Используя следствие из теоремы 1 (теорема сравнения) и результат примера 1 , отсюда получим

Ответ: интеграл  сходится.

б) .

Решение. Как и в предыдущем случае, интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода с неотрицательной подынтегральной функцией. Здесь невозможно непосредственно использовать теорему сравнения или ее следствие. Исследуем сходимость этого интеграла двумя способами.

1-й способ. Используя следствие из критерия Коши, докажем, что интеграл  расходится. Этот означает, что существует  такое, что для любого  существуют  такие, что

. (7)

Пусть . Тогда

.

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (7) при . Значит, интеграл  расходится.

2-й способ. Имеем

. (8)

По следствию из теоремы сравнения интеграл  расходится, так как  при .

Что касается интеграла , то для его исследования используем признак Дирихле (теорема 4), так как подынтегральная функция не является знакопостоянной. Имеем:

функция  непрерывна, а функция  непрерывно дифференцируема на промежутке ; далее

1) первообразная функции  равна  и, следовательно, ограничена на промежутке ;

2) функция  монотонно убывает на промежутке ;

3) .

Следовательно, по признаку Дирихле интеграл  сходится. Учитывая, что интеграл  расходится, а интеграл  сходится, из (8) получим, что интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

в) .

Решение. Имеем . Легко доказать, что . Тогда

. (9)

Очевидно, что . Так как интеграл  сходится, то из неравенств (9) и теоремы сравнения следует

Ответ: интеграл  сходится.

г) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода,  - особая точка подынтегральной функции. Имеем

. (10)

Так как интеграл  сходится (см. пример 3,  ), то из теоремы сравнения и из (10) следует

Ответ: интеграл  сходится.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка . Что касается точки , то

.

Таким образом, точка  не является особой.

Рассмотрим точку . Имеем

. (11)

Так как интеграл  сходится, то из (11) и следствия из теоремы сравнения получим

Ответ: интеграл  сходится.

е) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка   - внутренняя точка промежутка интегрирования. Поэтому

.

В интеграле  сделаем замену переменной . Тогда , особая точка . Имеем  при . Так как интеграл  расходится, то по следствию из теоремы сравнения интеграл  также расходится. Таким образом, независимо от результата исследования интеграла  отсюда получаем

Ответ: интеграл  расходится.

ж) .

Решение. Так как

 при ,  (12)

то при  подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому интеграл  разбиваем на два интеграла:

,

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода,  - 1-го рода. Из соотношения (12) и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл  сходится при  (см. пример 3), т.е. при . Далее

 при .

Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл   сходится при  (см. пример 1). Объединяя эти результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится при .

з) .

Решение. Если , то подынтегральная функция имеет особенность при . Поэтому

, (13)

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, интеграл  - 1-го рода.

Имеем  при . Следовательно, интеграл  сходится при . Далее

, (14)

 при любом . Следовательно, непрерывная на промежутке  функция  ограничена, т.е. существует положительная константа   такая, что

. (15)

Из (14) и (15) получим

. (16)

Так как  сходится, то по теореме сравнения из (16) следует, что сходится интеграл  при любом .

Объединяя результаты, из (13) получим

Ответ: интеграл  сходится при .

и) .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при  и . Поэтому

. Имеем . Отсюда следует, что интеграл   сходится.

Далее, . Отсюда получим, что интегралы  также сходятся.

Наконец, .

Интегралы  однотипны. Поэтому рассмотрим . Имеем

.

Интеграл  сходится при . Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл .

Объединяя результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится.

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Формула Ньютона - Лейбница

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

На главную