Дифференциальные уравнения

Вычислить несобственный интеграл Дифференциальные уравнения Степенные ряды Неопределенный интеграл Несобственный интеграл Основные методы интегрирования Метод интегрирования по частям

Физика решение задач
Механика
Молекулярная физика и термодинамика
http://kursmt.ru/
Электростатика
Электрический ток
Электромагнетизм
Колебания и волны
Основные законы оптики
Атомная физика
Полупроводники
Ядерная физика
Электроника
http://kursmat.ru/
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ ДИОДЫ
ДИОДЫ С РЕЗКИМ ВОССАНОВЛЕНИЕМ ОБРАТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДИОДЫ ШОТТКИ
Стабилитроны
ШУМОВЫЕ ДИОДЫ
ОБРАЩЕННЫЕ ДИОДЫ
Электротехника
Методы расчета электрических цепей
Трехфазные нагрузочные цепи
Генератор постоянного тока
Пуск синхронного двигателя
Полупроводниковые выпрямители
Усилители постоянного тока
Ферромагнитные материалы
Вычислить напряженность магнитного поля
Математика
Вычислить несобственный интеграл
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Линейные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида:  (1),

где  – неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно  и .

Если , то уравнение (1) примет вид:  (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда . (3)

Отсюда общий интеграл  или

  заменяем на  

Но  есть любое число, кроме нуля. Положим .

  – произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:  (5),

где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .

Решение. Имеем . Поэтому  (произвольную постоянную можно считать = 0). И   – общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение  (1)

Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим  (6)

Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).

 или .

Отсюда 

Следовательно, . (7)

Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию . (8)

Теорема. Решением задачи Коши  служит функция:

. (9)

Замечания:

Формулу (9) можно записать короче, если  ввести под интеграл:

  (10)

Если в формуле (10)  считать произвольной постоянной (при этом значение   безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь . Вычислим  (С можно положить = 0).

Положим . Так как , то .

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет

Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение.

Здесь .

Общее решение .

Найдем  из начального условия: .

Частным решением, удовлетворяющим условию , будет .

Теорема. (о структуре решения линейного неоднородного уравнения)

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (1)

где n – любое число, не обязательно целое.

При  уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при  и ).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть  и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою  сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции  две неизвестные функции  и , такие, что . (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

 (8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции  и , необходимо задать еще одну зависимость между  и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид:  или, считая  (или, что то же, ) . (10)

Так как  есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным: . (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию  мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак,  известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения  будет с разделяющимися переменными (считаем ). (12)

Отсюда получаем или  (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: , где С – произвольная постоянная.

Пример.  или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на .

Положим , тогда .

Следовательно,  или .

Отсюда .

 и  – особое решение.

На главную