Атомная физика Постулаты Бора Элементы квантовой статистики Полупроводники Элементы физики твердого тела Полупроводниковые диоды и триоды Ядерная физика Ядерные реакции Цепная реакция деления

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Движение свободной частицы

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

  (219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х) = Аеikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии

  (219.2)

Функция  представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),

  (219.3)

(здесь  и ). Функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля (см. (217.2)).

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

 (220.1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

 (220.2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

или

  (220.3)

где

 (220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда

  (220.5)

Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

  (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

  (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А =, а собственные функции будут иметь вид

  (220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |yn(х)|2 = yn(х)y*n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

  (220.9)

Например, для электрона при размерах ямы l=10–1 м (свободные электроны в металле) DEn » 10–35n Дж » 10–16n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10–10 м), то для электрона DEn » 10–17n Дж » 102n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l равна Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) DEn/En»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.

Примеры решения задач

Пример 1. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы m1=2 кг и m2=2,1 кг. Начальные скорости грузов равны нулю. Каково перемещение грузов за время t=2 с? Какова сила натяжения нити? Массой нити и трением в блоке пренебречь.

Решение. Направим координатную ось Оу вертикально вверх, как указано на рис. 2. Уравнение для координаты первого груза запишем в виде:

Но тогда

В момент времени t y=s. Таким образом, величина перемещения

Ускорение движения а найдем, Рис. 2

составив уравнения движения грузов в проекциях на ось Оу (при этом учтем, что Т1=Т2=Т, а1=а2=а):

 

Преобразовав эти два уравнения, найдем

Величина перемещения

Силу натяжения нити найдем из уравнения движения первого груза:

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой г (рис.3). Тело массой г подвешено на нити, перекинутой через блок и привя- Рис. 3

занной к телу . Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1) силу натяжения нити; 2) ускорение тел.

 Решение. 1. На тело массой действуют сила тяжести и сила натяжения Т нити. Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительным, а силы, направление которых противоположно направлению ускорения, – отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела массой :

  , (1)

где а – ускорение тела; g – ускорение свободного падения.

На тело массой действуют сила тяжести , сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и Р1 равны по модулю и противоположно направлены, поэтому их равнодействующая равна нулю. Вследствие этого отсутствует вертикальное перемещение тела.

Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела массой имеет вид

 . (2)

Чтобы найти ускорение, подставим (2) в (1): , или , откуда

 . (3)

Выразим массу тел и в единицах СИ: кг и кг.

Вычислим ускорение а по формуле (3):

м/с2.

2. Силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2):

Н.

Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=qВ; 2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая qD для NaCI принять равной 320 К. 

Решение. Количество теплоты DQ, подводимое для нагревания тела от температуры t1 до t2, Может быть вычислено по формуле

,  (1)

где С - теплоемкость тела (системы)

Теплоемкость тела связана с молярной теплоёмкостью Cm соотношением С=(m/М) Cm, где m-масса тела; М-молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

.  (2)

В общем случае Cm есть функция температуры, поэтому за знак Интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур DT постоянной и равной Cm(Т1). Ввиду этого формула (2) примет вид

DQ=(m/M)Cm(Т1)DT. (3)

Молярная теплоёмкость Cm(Т1) в теории Дебая выражается формулой

.

В первом случае при Т1=q интеграл

и, следовательно,

Cm =2,87R.

Подставляя это значение Cm в формулу (3),получим

DQ=2,87(m/M)RDT. (4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдём

DQ=16,3Дж.

Во втором случае (Т<<qD) нахождение DQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (2)

Используя выражение предельного закона Дебая

,

получим

 

Выполним интегрирование:

. (5)

С учетом того, что Т2+DТ=2Т2, выражение (5) примет вид

,

или

.

Подставив в последнюю формулу значения величин p, m, M, R, Т и qВ произведя вычисления, найдём DQ=1,22мДж.


Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц