Атомная физика Постулаты Бора Элементы квантовой статистики Полупроводники Элементы физики твердого тела Полупроводниковые диоды и триоды Ядерная физика Ядерные реакции Цепная реакция деления

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

1s-Состояние электрона в атоме водорода

1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов q и j. Волновая функция y электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т. е. y = y100(r), где цифры в индексе соответственно указывают, что п=1, l=0 и ml=0. Уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

  (224.1)

где, как можно показать, — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а (см. (212.2)) для атома водорода, С — некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии y-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV=4pr2dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с учетом (224.1),

После интегрирования получим

  (224.2)

Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормированную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме водорода:

  (224.3)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема (см. (216.2)) равна

Подставив в эту формулу волновую функцию (224.3), получим

Вычислим те расстояния rmax от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражение dW/dr на максимум, получим, что rmax=a. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r=а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве (рис. 305). Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл боровского радиуса.

Спин электрона. Спиновое квантовое число

О. Штерн и В. Герлах, проводя прямые измерения магнитных моментов (см. § 131), обнаружили в 1922 г., что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (см. (223.4)). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту (см. (131.3)), поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т. е. расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля.

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек (1900—1974) и С. Гаудсмит (1902—1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, спином (см. §131).

Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) Ls, то ему соответствует собственный магнитный момент рms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

где s — спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция Lsz спина квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s+1 ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s+1=2, откуда s= ½ . Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным (223.6):

где тs — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: ms = ± ½ .

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Динамика вращательного движения

Основные законы и формулы

1. При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть определена по формуле

где  и – линейная и угловая скорости тела массой m; R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Если касательная составляющая равнодействующей силы, действующей на точку, а нормальная составляющая с течением времени не меняется по величине, то точка будет равномерно двигаться по окружности

2. Между двумя точечными телами массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от друга, действует сила тяготения, которая определяется законом всемирного тяготения:

где γ – гравитационная постоянная: γ≈6,67∙10-11 Н∙м2/кг2.

3. Для характеристики вращательного движения твердых тел часто пользуются моментом М силы F относительно оси вращения.

Момент М является векторной величиной. Величина момента М некоторой силы F относительно оси вращения определяется формулой:

М=Fl,

где l – расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

4. Основное уравнение динамики вращательного движения:

а) в общем случае

Мω),

где М – момент силы, действующей на тело в течении времени dt, J – момент инерции тела,  – угловая скорость, J – момент импульса;

б) в случае постоянных момента силы и момента инерции

в) в случае постоянного момента инерции

М=Jε,

где  – угловое ускорение.

5. Момент импульса материальной точки

или

L=Jω,

где m – масса точки,  – линейная скорость точки, r – расстояние точки от оси, относительно которой определяется момент импульса.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z:

ω=const,

где Jz – момент инерции системы тел относительно оси z;  – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

6. Момент инерции материальной точки:

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска или сплошного цилиндра радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости основания:

г) однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр:

Теорема Штейнера:

где  – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

Общее условие равновесия тела гласит, что для того, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы были равны нулю равнодействующая приложенных к телу сил и сумма моментов этих сил относительно оси вращения:

FFi = 0; Mi = 0.

Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов

типа А в ячейке равно восьми, Рис. 1

а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке,

n = (1/8)×8 + (1/2)×6 = 1 + 3 = 4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.


Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц