Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Механика твердого тела

Момент инерции

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r—плотность материала, то dm=2prhrdr и dJ=2phrrзdr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR2h — объем цилиндра, то его масса m=pR2hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

   (16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т1, т2 ,..., тn , находящиеся на расстоянии r1, r2,..., rn от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri, и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

  (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где Jz — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

 (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv2/2), следует, что момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела; vc — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

 

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

  (18.1)

где a— угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds=rdj и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

  (18.2)

Учитывая (18.1), можем записать

где Frsin a = Fl =Mz — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но   поэтому Mzdj = Jzwdw, или

Учитывая, что получаем

  (18.3)

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

  (18.4)

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Известно, что светящееся тело практически одновременно излучает в пространство множество фотонов различной частоты пульсации. Каждый фотон движется сквозь молекулы прозрачных тел, воздуха или эфира, сжимаясь к ее центру и расширяясь к нейтральной зоне со своей, только ему присущей скоростью, имея определенное поперечное «сечение» своей эфирной шубы. Создаваемая им область напряженности электромагнитного поля «тормозит» следующий за ним с большей скоростью и ближе к ядру фотон, который, в свою очередь, «притормаживает» еще

Рис.7.

более быстрый и т.д., что приводит к образованию «гребня» фотонов, движущихся в эфире или твердом теле с одной скоростью (здесь не фазовая, а, по-видимому, групповая скорость), становящейся одинаковой для всех фотонов. (Если смоделировать такое движение, например на планетную систему, то могут существовать небольшие спутники, находящиеся на своей орбите ближе к орбите «больших» спутников, но между ними и планетой. Двигаясь с ними в плоскости эклиптики и имея несколько большую скорость, они, тем не менее, не обгоняют «больших» соседей, «притормаживая» свое движение. Данное «притормаживание» не объясняется классической механикой.)

Это «приторможенное» движение несколько напоминает движение, например, спортсменов-бегунов, разного возраста, стартующих широким фронтом к сужающемуся тоннелю, оставляющему для прохода узкую щель, по которой может бежать только один человек. И какие бы скоростники-спринтеры не находились среди спортсменов, — если в эту щель одним из первых попал, например, десятилетний мальчик, стартовавший с ближней позиции, все они, возмущаясь, будут бежать с той скоростью, которую развивает он. И, только очутившись в расширении за туннелем, скоростники могут вырваться вперед.

То же самое происходит с фотонами света. До тех пор, пока условия входа фотонов в молекулы тел и их параллельное движение в них остается постоянным, они движутся «встык» друг другу с одной и той же скоростью. Если же условия выхода отличаются от условий входа (движение распараллеливается, например, призмой), фотоны приобретают ту скорость, которая соответствует их частоте, и раскладываются в спектр.

Остановимся еще на одном моменте, связанном с вещественным пространством. Если вырезать кусочек объема пространства (допустим такую мыслимую возможность), например, в районе орбиты Меркурия, и переместить его в район орбиты Плутона, то объем этот, как и образующие его атомы, возрастет более чем в 300 раз и изменится качественно, а вместе с ним на ту же величину возрастет мерная линейка, которой мы замеряли объем в районе Меркурия. В классической же механике пространство (в любой области Солнечной системы, как и космоса) изотропно и соразмерно одной и той же неизменной метрической единице. Оно, по определению, остается неизменным и в любой области космоса, и в открытом объеме на Земле, и в любом закрытом помещении вне зависимости от того, есть в нем вещественные частицы или ничего нет. (Одно из основных понятий современной физики — абсолютная пустота, что тоже самое — физический вакуум. Пустой объем, заполненный электромагнитными флуктуациями. Причем понятие электромагнитная флуктуация не имеет четкого определения, поскольку неизвестно, что же там флуктуирует. А потому объем везде независимая от вещества и не связанная с ним самостоятельная субстанция.).

Поэтому, если объем пространства на Земле замкнут, например полостью синхрофазотрона, то физические условия в нем уже отличаются от условий вне замкнутого пространства. Если же в этой полости возбудить электрическое или магнитное поле, то физические условия в этом пространстве еще больше изменятся, приближаясь к условиям околоядерной области атома, а вместе с ними изменится и локальное время, и форма движения элементарных частиц, и сами эти элементарные частицы. На сегодняшний день все эти факторы, связанные с полевыми воздействиями в замкнутой системе, просто игнорируются.

Переход через нейтральную зону одной молекулы и попадание в область другой молекулы для электронов и других элементарных частиц сопровождается изменением их плотности и энергии. Следствие различной плотности внутреннего пространства каждой молекулы. Поэтому каждая структура вещественного космического пространства обладает как система следующими особенностями:

• вещественное пространство анизотропно во всех направле- ниях;

• пространство образуется частицами эфира (или другими телами определенной структуры), отграниченными нейтральными зонами и обладающими самодвижением — пульсацией;

• основным структурообразующим фактором пространства является плотность, самопульсация тел и вращение их гравиполя;

• пульсация частиц передается до нейтральной зоны и либра-ционных точек на орбите, где происходит ее фазовая компенсация. Нейтральные зоны отграничивают элементы пространства, квантуя его на ячейки;

• структурные свойства данной области пространства сохра-няются либо за счет самоотталкивания тех из ее тел, которые имеют параметры колебания, не совпадающие по фазе, либо притяжением при совпадении фазы с пульсацией пространства;

• плотность каждой области пространства определяется пуль-сацией ее центрального тела и другими окрестными телами, пульсирующими в унисон с центральным;

•  способность физически больших элементов эфира сжимать гравиполе относительно меньших элементов, «заталкивая» их на свою поверхность, осуществляя как бы «самонасыщение»;

• «самонасыщение» в определенных физических условиях приводит к образованию новых элементов и к изменению геометрических размеров, структуры и свойств эфира как и всех тел при насыщении; 

• «самонасыщение» — основной процесс возобновления энергии тел, расходуемой на самопульсацию; 

• перестройка структуры при «самонасыщении» сопровож-дается возрастанием или перераспределением энергии в телах, поддерживая практически неизменными их энергетический уровень и частоту пульсации.

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы и сосредоточена в центре инерции (масс), а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (приложенных к точке С). Этот результат называется теоремой о движении центра масс (инерции).

Физический смысл этой теоремы заключается в том, что зачастую при движении тел (системы материальных точек) нас интересует не движение отдельных частей тела, а перемещение его в пространстве в целом. И в этом случае замена сложного (в общем случае) движения точек тела движением одной точки (центра масс) сильно упрощает задачу.

Вопросы для самоконтроля

Сформулируйте 1-й закон Ньютона. Что он устанавливает?

Сформулируйте 2-й закон Ньютона. Приведите пример использования этого закона как уравнения движения.

Сформулируйте 3-й закон Ньютона. Всегда ли он справедлив?

Когда возникает необходимость рассматривать силы инерции? Являются ли эти силы реальными?

Когда возникает центробежная сила инерции? Как ее рассчитывают?

При каких условиях возникает сила Кориолиса? Чему она равна?

Дайте определение центра инерции (центра масс).

Сформулируйте и докажите теорему о движении центра инерции (масс).


Элементы специальной (частной) теории относительности