Атомная физика Постулаты Бора Элементы квантовой статистики Полупроводники Элементы физики твердого тела Полупроводниковые диоды и триоды Ядерная физика Ядерные реакции Цепная реакция деления

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|y|2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины |y|2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

  (226.1)

где x1 и х2 — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:

т. е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется cимметричной, если меняет — антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии — признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, p-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спив — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, ml и тs т. е.

где Z(п, l, ml, тs) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п, l, ml, тs. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n2 различных состояний, отличающихся значениями l и ml. Квантовое число тs может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

Примеры решения задач

Пример 1. Два шарика с массами m1=40 г и m2=10 г, надетые на горизонтальный стержень (рис. 7), связаны нитью длиной l=20 см. Определить силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шариков о стержень пренебречь. Рис.7

Решение. В данном случае нормальные ускорения шариков вызваны действием сил натяжения Т1 и Т2. Поскольку шарики не смещаются относительно оси вращения, то Т1=Т2. Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Тогда

поэтому

Сила натяжения нити будет равна:

Пример 2. Шарик массой 200 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1 м, а ее угол с вертикалью составляет 600.

 Решение. На шарик действуют: mg – сила тяжести, Т- сила натяжения нити (рис.8). Запишем для шарика уравнение второго закона Ньютона в векторной форме: Рис. 8

mg+Т = ma.

  Спроецируем это уравнение на выбранные направления осей X и Y:

  (1)

 Учитывая, что  (шарик не движется в вертикальном направлении,R – радиус окружности), , и подставляя выражение для ах, ау и R в (1), получаем:

   (2)

 Решив уравнения (2) получим:

 

 При равномерном движении шарика по окружности его период вращения

Пример 20. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны λ излучения равной 600 нм. 

Рис. 10

Решение. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно апрель деленной, а имеет конечную ширину Г (рис. 10). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением

Гτ ~ ħ

Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением

Г = ħ /τ

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. ∆ε = Г. 

Тогда

∆ε = ħ/ τ (1)

Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны λ соотношением

ε = 2πħc/λ

то разбросу ∆ε(∆ε <<ε) энергии соответствует разброс ∆λ длин волн (∆λ<<λ)

∆ε =    (2)

(знак минус опущен).

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн Д?.и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив Д^ из формулы (2) и заменив Де согласно (1), получим

Произведем вычисления:

∆λ = 2 · 10-14м =20 фм


Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц