Атомная физика Постулаты Бора Элементы квантовой статистики Полупроводники Элементы физики твердого тела Полупроводниковые диоды и триоды Ядерная физика Ядерные реакции Цепная реакция деления

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

  (238.1)

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для g, но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь п — концентрация электронов проводимости в металле, álFñ — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, áuFñ — средняя скорость теплового движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: g ~ 1/T (классическая теория (см. § 103) дает, что g ~1/), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см. § 103).

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде — она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упорядоченному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, áuñ ~, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость g от температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость áuFñ от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур álFñ ~Т–1, поэтому, учитывая независимость áuñ от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/g) в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона

Прежде чем на основе квантовой теории приступить к качественному объяснению явления сверхпроводимости, рассмотрим некоторые свойства сверхпроводников.

Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменяется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оптические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электрических свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоемкости, а при переходе в сверхпроводящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность, и теплоемкость (такие явления характерны для фазовых переходов II рода; см. § 75). Достаточно сильное магнитное поле (а следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) разрушает сверхпроводящее состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейсснер (1882—1974), в сверхпроводящем состоянии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры (см. § 98) магнитное поле из него вытесняется (эффект Мейсснера).

Общность эффектов, наблюдаемых в сверхпроводящем состоянии различных металлов, их соединений и сплавов, указывает на то, что явление сверхпроводимости обусловлено физическими причинами, общими для различных веществ, т. е. должен существовать единый для всех сверхпроводников механизм этого явления.

Физическая природа сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. на основе теории (создана Ландау в 1941 г.) сверхтекучести гелия (см. § 237). Теория сверхпроводимости создана американскими физиками Д. Бардином (р. 1908), Л. Купером (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931) и развита Н. Н. Боголюбовым.

Оказалось, что помимо внешнего сходства между сверхтекучестью (сверхтекучая жидкость протекает по узким капиллярам без трения, т. е. без сопротивления течению) и сверхпроводимостью (ток в сверхпроводнике течет без сопротивления по проводу) существует глубокая физическая аналогия: и сверхтекучесть, и сверхпроводимость — это макроскопический квантовый эффект.

Качественно явление сверхпроводимости можно объяснить так. Между электронами металла помимо кулоновского отталкивания, в достаточной степени ослабляемого экранирующим действием положительных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с колебаниями решетки) возникает слабое взаимное притяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобладать над отталкиванием. В результате электроны проводимости, притягиваясь, образуют своеобразное связанное состояние, называемое куперовской парой. «Размеры» пары много больше (примерно на четыре порядка) среднего межатомного расстояния, т. е. между электронами, «связанными» в пару, находится много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить (оторвать один из ее электронов), надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притяжения электронов пары. Такая энергия может быть в принципе получена в результате взаимодействия с фононами. Однако пары сопротивляются своему разрушению. Это объясняется тем, что существует не одна пара, а целый ансамбль взаимодействующих друг с другом куперовских пар.

Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин такой пары равен нулю и она представляет собой бозон. К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, находящихся в одном состоянии, не ограничено. Поэтому при сверхнизких температурах бозоны скапливаются в основном состоянии, из которого их довольно трудно перевести в возбужденное. Система бозе-частиц — куперовских пар, обладая устойчивостью относительно возможности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.

На основе теории сверхпроводимости английский физик Б. Джозефсон (р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект, названный его именем (Нобелевская премия 1973 г.). Эффект Джозефсона (обнаружен в 1963 г.) — протекание сверхпроводящего тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной »1 нм), разделяющий два сверхпроводника (так называемый контакт Джозефсона). Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря туннельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некоторое критическое значение, то падения напряжения на нем нет (стационарный эффект), если превышает — возникает падение напряжения U и контакт излучает электромагнитные волны (нестационарным эффект). Частота n излучения связана с U на контакте соотношением n=2eU/h (е — заряд электрона). Возникновение излучения объясняется тем, что куперовские пары (они создают сверхпроводящий ток), проходя сквозь контакт, приобретают относительно основного состояния сверхпроводника избыточную энергию. Возвращаясь в основное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии hn=2eU.

Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабых магнитных полей (до 10–18 Тл), токов (до 10–10 А) и напряжений (до 10–15 В), а также для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.

10.Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где  – кинетическая энергия поступательного движения тела; – скорость центра инерции тела,   – кинетическая энергия вращательного движения тел вокруг оси, проходящей через центр инерции.

11.Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением:

.

Примеры решения задач

Пример 1. Какую работу совершает электровоз за t=10 мин, перемещая по горизонтальному пути состав массой кг с постоянной скоростью если коэффициент трения ?

Решение. В данном случае работа совершается силой тяги F электровоза. Кроме этой силы, на состав действует также сила трения Fтр, направленная противоположно силе тяги. Направление действия силы F и перемещения s совпадают, т.е. , поэтому работа .

Силу F можно определить из второго закона Ньютона:

F+Fтр=ma; F-Fтр=0;

так как и а=0. Тогда F=Fтр=.

Величину перемещения s находим по формуле для определения пути равномерного прямолинейного движения: .

Работа Дж.

44. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол равный 180°.

45. Фотон с энергией 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного электрона 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния.

46. Фотон с энергией 1 МэВ рассеялся на свободном покоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на 25%.

47. Рентгеновский фотон испытал комптоновское рассеяние на угол θ=48°. Первоначальная энергия фотона W1=0, 15 МэВ, энергия электрона отдачи Wе. Найти энергию фотона после рассеяния W2.

48. При рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны λ=3,5 пм на угол θ кинетическая энергия отдачи равна Wе, угол между падающим фотоном и направлением движения электрона отдачи равен γ=22°.

49. При рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны λ на угол θ=130° кинетическая энергия отдачи равна Wе=85 кэВ, угол между падающим фотоном и направлением движения электрона отдачи равен γ. Найти λ.

50. Определить наименьшее и наибольшее значения энергии фотона  в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана).

51. Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?

52. Электрон движется по второй орбите атома водорода. Найти длину волны де Бройля.

53. Атомарный водород переведен из нормального состояния в возбужденное, характеризуемое главным квантовым числом 3. Какие спектральные линии могут появиться в спектре водорода при переходе атома из возбужденного состояния в нормальное?

54. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с энергией 12,09 эВ. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона в возбужденном атоме?

55. Насколько изменится орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода (момент количества движения) при испускании атомом второй по порядку спектральной линии серии Бальмера (электрон переходит с четвертого уровня на второй)?

56. Определить потенциальную, кинетическую и полную энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водорода.

57. Найти наибольшую λmax и наименьшую λmin длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).

58. Найти энергию Еi и потенциал Ui ионизации ионов He+ и Li++.

59. Вычислить частоты ν1 и ν2 вращения электрона в атоме водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой ν излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту.

60. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ=121,5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.

61. Определить первый потенциал U1 возбуждения атома водорода.

62. Вычислить длину волны λ, которую испускает ион гелия He+ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой же подсчет для иона лития Li++.

63. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Tmin электрона, движущегося внутри сферической области d=0,1 нм.

64. Атом испустил фотон с длиной волны λ=600 нм. Продолжительность излучения t=50 нс. Определить наибольшую точность (Δλ), с которой может быть измерена длина волны излучения.


Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц