Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и да удара называется коэффициентом восстановления e:

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 < e < 1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами т1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара—через  и  (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицатель-нос — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

  (15.1)

 (15.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

  (15.3)

 (15.4)

откуда

  (15.5)

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

  (15.6)

 (15.7)

Разберем несколько примеров.

1. При v2=0

  (15.8)

 (15.9)

Проанализируем выражения (15.8) в (15.9) для двух шаров различных масс:

а) т1=т2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара ();

б) т1>т2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (<v1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (>) (рис. 20);

в) т1<т2. Направление движения первого шара при ударе изменяется—шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. <v1 (рис. 21);

г) т2>>т1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что  = –v1, »2m1v1/m2»0.

2. При т1=т2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

Если массы шаров т1 и т2, их скорости до удара v1 и v2, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

где v — скорость движения шаров после удара. Тогда

  (15.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (т1=т2), то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получаем

 

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то

Когда m2>>m1 (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1>>m2), тогда v»v1 и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Задачи

3.1. Определить: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) максимальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]

3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия 60 Дж: 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]

3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]

3.4. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v=500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l=1 м и массой M=5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника. [18°30']

3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается выражением П (r) = , где А и В — положительные постоянные. Определить значение r0, соответствующее равновесному положению частицы. Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [r0=2A/B]

3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой т1 ударяется о покоящееся тело массой m2, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n=1,5 раза. Определить: 1) отношение m1/m2; 2) кинетическую энергию Т2 второго тела, если первоначальная кинетическая энергия первого тела T1=1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]

3.7. Тело массой т1=4 кг движется со скоростью v1=3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]

Между обособленными телами на поверхности Земли нейтральная зона отсутствует, поскольку их собственная энергия так мала, что силовое воздействие гравиполя Земли «загоняет» нейтральную гравитационную зону вглубь объема самого тела, тем самым ослабляя его структуру и позволяя различным телам соединяться своими поверхностями. И только значительная объемная гравидеформация, вызванная, например, движением тела над поверхностью Земли с первой орбитальной скоростью или опусканием его вглубь Земли, приводит к возрастанию энергии тела, к перемещению нейтральной зоны к его поверхности и, наконец, к «отрыву» от поверхности и образованию общей нейтральной зоны с Землей. Именно образование общей нейтральной зоны приводит к «всплыванию» тела над поверхностью Земли. Тело обретает новое качество — становится спутником или, если их много на орбите, образует кольцо (например, кольца Сатурна).

Соприкасаясь своими нейтральными зонами, молекулы на границе создают электромагнитные эквипотенциальные поверхности, те самые, которые «обволакивают» граничные молекулы тела, образуя эквипотенциальную зону, сжимающую, за счет внешнего приталкивания, внутренние поверхности молекул, не позволяя им «оторваться» от тела. Твердость тела всегда обусловлена внешним приталкиванием его молекул друг к другу. Таким образом, тело из молекул получает над внешней нейтральной поверхностью пульсирующую эквипотенциальную сферу стоячих волн, в узлах которой и могут вращаться электроны, «выдавленные» из тела.

Если взять, например, металлический провод и перерезать его, то разрез на молекулярном уровне будет иметь вид, изображенный на рис. 6, где А – толщина эквипотенциального слоя общей грави- или электромагнитной напряженности. Подчеркну еще раз, что структура атома, молекулы, да и всего тела определяется не количеством электронов или электронных орбит в них, а именно плотностью нейтральных зон между атомами и молекулами. И расстояние между ядрами, количество электронов в каждой молекуле (атоме), ее размеры и масса индивидуально могут значительно различаться даже в соседних атомах, но вот строение и удельная плотность нейтральных зон значительно различаться не могут. Ибо они определяют тождественность тела себе самому. Но в случае определенного воздействия (например, электромагнитного) на тело, вызывающего его деформацию, «свободные» электроны, чаще всего находящиеся вблизи нейтральной зоны, «выдавливаются» в эквипотенциальный слой и движутся в нем. обусловливая существование тока или электрического поля вокруг всего тела. И чем сильнее воздействие, тем больше «выдавливается» электронов, тем больший ток течет над молекулами в эквипотенциальном слое. В этом случае (при электромагнитном воздействии) в самом теле образуется гравитационное поле, сжимающее тело со скоростью, равной скорости света в той области, где находится тело (например, на поверхности Земли). Другие электромагнитные образования (электроны, протоны, фотоны и т.д.) движутся в той области

Рис. 6

молекул, которая обусловлена взаимодействием их собственной пульсации с пульсацией каждой молекулы, через которую они проходят. И движутся, поэтому с различной скоростью, проходя различные области пространства молекул и взаимодействуя при этом как с молекулами, так и между собой (рис. 7.). Чем большую частоту самопульсации имеет частица, тем с большей скоростью она движется, тем «положе» траектория ее движения в молекуле.

Необходимо ясно представлять, что ни одна элементарная частица, ни в одной области пространства не может двигаться прямолинейно и по инерции. В своем движении по эфиру (как и по весомому веществу) эти частицы, проходя по синусоиде через его атомы, взаимодействуют с их внутренним веществом и на таком расстоянии от ядра, которое обеспечивается скоростью движения частицы. При движении в молекулах вещества наблюдается аналогичная картина. Переход из одной среды в другую вызывает изменение параметров элементарной частицы (скорости ее движения, наклон угла синусоиды), но не приводит к прямолинейному движению. Прямолинейное движение в природе отсутствует, поскольку вещественное пространство обусловливает перемещение тел только за счет взаимодействия с ним и в зонах соответствующих энергетике движущихся тел. Оно представимо только теоретически и может использоваться при описании многих физических явлений с четким пониманием обстоятельств, обусловливающих возможность такого описания. (Например, движении фотона от Солнца к Земле можно смело считать прямолинейным. Но движение того же фотона на расстояниях, сопоставимых с длиной его волны ни при каких условиях считать прямолинейным нельзя. Оно всегда криволинейно).

На рис. 7. справа показано, как в настоящее время изображается переход элементарной частицы из одной среды в другую (преломление на границе двух сред), Например из воздуха в стекло, а из него в воздух. Слева показано как этот же переход происходит физически. И слева и справа от границы стекла находятся атомы эфира и воздуха, взаимодействуя с объемами которых и отталкиваясь от которых движется элементарная частица. На рис.7, очень важно именно то, что за границами тела, за ее эквипотенциальной поверхностью структура пространства остается принципиально такой же, как и у тела, и это обстоятельство полностью определяет как условия движения элементарных частиц, так и их скорости.

Известно, что электроны движутся в пространстве с различными скоростями, и уже один этот факт свидетельствует о том, что они не тождественны друг другу. Выше упоминалось (таб. 2.), что и фотоны в пространстве имеют различную скорость движения, хотя эмпирически доказать этот факт достаточно сложно. В большинстве экспериментов фиксируется одинаковая скорость движения у всех фотонов. Но, зная механику взаимодействия фотонов в молекуле и между собой, можно объяснить и этот факт.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

План

Абсолютное твёрдое тело. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями вращающегося твёрдого тела.

Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера. Свободные оси.

Момент силы. Момент импульса.

Уравнение моментов. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Гироскопы. Гироскопический эффект.

1. Абсолютно твёрдое тело. Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Введём понятие угловой скорости и углового ускорения. Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной в данной системе отсчёта оси  и за время  совершает бесконечно малый поворот (рис. 3.1).

Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причём так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора .

Рис. 3.1

Из рис. 3.1 следует, что . Вектор  как бесконечно малую величину можно считать по модулю равным соответствующей дуге окружности , его направление соответствует правилу правого винта по отношению к векторам  и

 Разделим обе части на :

 . (*)


Элементы специальной (частной) теории относительности