Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис. 59). Пусть в начальный момент времени t=t'=0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 59), пройдя расстояние

х = ct, (36.1)

то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А

х' = ct'. (36.2)

где t' — время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К'. Вычитая (36.1) из (36.2), получаем

х' – х = c(t' – t).

Так как х' ¹ х (система К' перемещается по отношению к системе К), то

t' ¹ t,

т. е. отсчет времени в системах К и К' различен — отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е. t=t').

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой:

заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).

Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренца имеют вид

 (36.3)

Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К относительно К' равна –v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью с), т. е. когда b<<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, х', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования (см. (36.3)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Следствия из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами x1 и x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты  и  и моменты времени  и . Если события в системе К происходят в одной точке (x1 =х2) и являются одновременными (t1 =t2), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ¹ x2), но одновременны (t1 = t2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности  определяется знаком выражения v (x1 – x2), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность   будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) t = t2 – t1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К'

  (37.1)

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

  (37.2)

Подставляя (37.2) в (37.1), получаем

или

  (37.3)

Из соотношения (37.3) вытекает, что t<t', т. е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала t, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для t и t' обратимы. Из (37.3) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света (=0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в  раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса нt содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) t » 2,2×10–8 с. Следовательно, p-мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте »30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости с, должны были бы проходить расстояния сt » 6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни p-мезона t' = t/, а путь этих частиц в атмосфере vt' = bct' = bct/. Так как b »1, то vt'>>ct.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где  и  — не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x1 и x2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х2 – х1 и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), получим

т. е.

 (37.4)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в  раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то

представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

  (37.5)

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с ux, а скорость и' относительно К' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид

  (37.6)

Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна (см. § 35). Действительно, если u' = c, то формула (37.6) примет вид   (аналогично можно показать, что при и = с скорость u' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна.

Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u' = v = с. После подстановки в формулу (37.6) получим и = с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с/n (n — абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является (подробнее см. § 189).

Несколько слов о влиянии процесса насыщения и пульсации на существование живых существ.

Все тела, включая живые существа, насыщаются эфиром в различной степени. Живые существа насыщаются на амерном уровне и, по-видимому, в процессе передачи наследственности закрепляют достигнутый период пульсации и получают в зародышевом состоянии возможность самопульсации, имеющей период, больший, чем период пульсации Земли в этот момент. В процессе роста и развития период их пульсации возрастает медленнее, чем период пульсации Земли, и где-то к середине жизни организма период его пульсации сравнивается с периодом пульсации Земли, а затем начинает отставать. Так начинается старение.

Естественно, что все составляющие живое существо органы пульсируют в унисон с другими органами и с телом в целом. Изменение собственной пульсации любого органа вызывает его заболевание и приводит либо к его отторжению, либо к заболеванию всего тела. Последнее характеризуется нарушениями не только ритма пульсаций, но эфирного обмена, что может иметь печальный исход. Каждое живое тело имеет собственный, строго индивидуальный период пульсации, который и определяет время его жизни.

1.7. Плотностная мерность пространства

Вероятно, первым, кто связал мерность пространства с взаимодействием, был один из величайших немецких философов Эммануил Кант. В своей студенческой работе с длинным названием «Мысли об истинной оценке живых сил и разбор доказательств, которыми пользовались г-н Лейбниц и другие знатоки механики в этом спорном вопросе, а также некоторые предварительные соображения, касающиеся сил вообще», он изложил свои соображения об истинной мере движения на 180 страницах, и только на трех из них касается трехмерного пространства [27]. Но именно на этих страницах появляется мысль, отражающая суть трехмерности пространства: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния».

Это высказывание И. Канта пытаются, сам он об этом не упоминал, связать с представлением об относительной природе пространства (лейбницево пространство — отношение тел в отличие от концепции ньютоновского абсолютного пространства, не зависящего от тел и явлений), но можно понимать его и по-другому и тоже в абсолютной форме. Пространство — вещественное абсолютное образование-субстанция (как абсолютны все без исключения тела), включающая другие тела-пространства (почему-то часто забывается, что каждое тело само образует свое пространство), взаимодействующая с ними и передающая взаимодействие пропорционально квадрату расстояния между ними.

Такое понимание высказывания И. Канта придает пространству все свойства тел, делает его подобным телам и потому взаимодействующим с ними. В то же время оно своими размерами превосходит все включаемые тела, создавая вместе с ними телесное вместилище, некий симбиоз, обладающий новым качеством — «пространство».

Следует отметить, что понятие «расстояние», которое входит основным элементом в представление о пространстве, к которому мы буквально «прикипели», в природе как некий размер отсутствует. Расстояние, как определенная количественная величина длины, соизмеренная с эталонным отрезком, независимым от природных процессов, ощущается только наблюдателем. Природа ими не излишествует. То, что мы измеряем метрами, в природе обусловлено движением и некоторым взаимодействием, связанным с пульсацией измеряемого тела. И эта пульсация, характер которой еще достаточно непонятен, имеет некоторый центр R, относительно которого что-то, похоже, гравитационное поле, имеет линейную скорость v и угловую частоту ω. Т.е. тело и его поле пульсирует, колеблется или вращается, но не остается неподвижным. Уравнение же, связывающие эти параметры, в механике хорошо известно:

R = v/ω,

или с использованием периода τ:

  R = vτ.

Из этих уравнений следует, что расстояние в природе, обозначаемое длиной отрезка R, не есть неподвижная элементарная длительность или дистанция, а характеризуется количественной величиной некоторого волнового движения — произведением скорости на период.

Однако понимание того, что расстояние не есть отрезок чего-то и не определяется жестким эталоном длины, а является произведение подвижных волновых параметров и потому имеет, прямо или косвенно, динамический характер, еще не устоялось в науке. Следовательно, и отношение к характеристике мерности не учитывает эти особенности природы расстояний. А поскольку самопульсация тел и пространства является определяющим фактором их самодостаточности, если всякое расстояние есть следствие взаимосвязанного процесса скорости и частоты объемной пульсации тел в любой области пространства, то ответ на вопрос о том, какую мерность имеет наблюдаемое пространство, достаточно очевиден — пространство трехмерно. Оно трехмерно потому, что при количестве принятой пространственной мерности >3<, как доказано математически, волновые процессы происходить не могут, орбиты планетные и электронные оказываются незамкнутыми, структура светового спектра будет отличаться от наблюдаемого.

Подпись:  
Рис. 3.3
3. Вычисление моментов инерции. 1. Кольцо (полый цилиндр) (рис. 3.3). В случае достаточно тонких стенок вся масса сосредоточена на расстоянии  от центра.

Относительно оси, проходящей через центр кольца:

,

.

2. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Дано: радиус диска, масса диска.

Найти: момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Разобьём диск (рис. 3.4) на кольца с радиусом , толщиной . По определению момента инерции . Пусть поверхностная плотность диска , тогда масса кольца , где площадь кольца, . Интегрируя по радиусу, находим момент инерции диска:

=,

Подпись:  
Рис. 3.4
Подпись:


Элементы специальной (частной) теории относительности