Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 67), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м2:

где r — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

  (45.1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV=(m/M) RT (т — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Подставив это выражение в (45.1), получим

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2 (рис. 67), т. е.

или

  (45.2)

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

  (45.3)

где р — давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (42.6) p=nkT:

где n – концентрация молекул на высоте h, n0 – то же, на высоте h=0. Так как M=m0NA (NA – постоянная Авогадро, т0 – масса одной молекулы), a R=kNA, то

  (45.4)

где m0gh=П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

  (45.5)

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <l>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если <z> — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где п — концентрация молекул, V = pd2 <v> <v> — средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

Тогда средняя длина свободного пробега

т. е. <l> обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р. Следовательно,

Явления переноса

Явлениями переноса называются необратимые процессы, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, количества движения.

К явлениям переноса относятся:

а) диффузия (перенос массы)

б) теплопроводность ( перенос энергии)

в) внутреннее трение (перенос количества движения)

Перенос энергии, массы, и количества вещества всегда происходит в направлении, обратным их градиенту.

Средняя длина свободного пробега молекулы прямо пропорциональна её средней арифметической скорости <υ>и обратно пропорциональна среднему числу столкновений <Z> за единичный промежуток времени. 

  (16)

 

Диффузия. Осмос. Осмотическое давление и его роль в жизнедеятельности растений.

Пусть в некотором объёме газа имеет место неоднородность а именно: газ имеет различные плотности ρ1 и ρ2 .

Молекулы диффундируют туда, где плотность меньше, где концентрация ниже, начнется перемешивание газа.

а)Диффузия.

Явления проникновения молекул одного вещества в межмолекулярное пространство другого (перемешивание вещества) называется диффузией.

Описывается процесс диффузии уравнением Фика.

  (17)

где ∆ M - переносимая масса;

   градиент плотности;

 ∆S – площадь;

  ∆t- время;

Д- коэффициент диффузии, зависящий от рода вещества, температуры, давления.

Знак минус говорит о том, что масса переносится в сторону уменьшения убывания плотности.

Если в этом уравнении принять:

∆S= 1м2 , ∆t=1с, = 1, то

Д=  Д=М, где Д- коэффициент диффузии.

Коэффициент диффузии численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу площади перпендикулярно направлению распространения при градиенте плотности равном единице.

Коэффициент диффузии зависит от температуры и массы диффундирующих молекул.

Диффузия протекает не только в газообразных, но и в твердых и жидких телах.

В жидкости диффузия протекает в 1000 раз медленнее, чем в газах, (например, для О2 Д=8·10-6  , а для жидкости Д=10-10 - 10 –9 ).

Коэффициент диффузии для жидкости определяется по формуле:

 ,

 где К- постоянная Больцмана;

Т- абсолютная температура;

R- радиус молекул;

- (этта) коэффициент динамической вязкости жидкости.

То есть скорость протекания диффузии в жидкости прямо пропорциональна температуре и обратно пропорциональна вязкости. В твердых телах скорость протекания диффузии ещё меньше.(опыт со свинцовой и золотой пластинками).

Осмос.

Диффузия, протекающая через полупроницаемые перегородки, называется осмосом.

Осуществляется осмос за счет дополнительного давления, обусловленного различной концентрацией диффундирующих частиц по разные стороны перегородки.

Это давление называется осмотическим и может быть рассчитано по формуле:

 ,

 где n0- концентрация (число молекул вещества в единицу объёма); средняя кинетическая энергия молекул.

p=ρgh- гидростатическое давление.

Диффузия имеет важное значение в жизнедеятельности животных и растений. Около 98% необходимого животному организму кислорода поглощается легкими в процессе диффузии.

Обменные процессы в живых организмах протекает благодаря диффузии ионов через клеточные мембраны. Проникновение растворенного вещества в растительную клетку определяется уравнением Фика.

 , где - разность концентраций внутри клетки и снаружи.

Диффузия является основным механизмом, обеспечивающим газообмен между почвенным и атмосферным воздухом, т.е. вынос углекислого газа в атмосферу и перенос кислорода в обратном направлении. Путем диффузионного обмена через листья осуществляется частично и питание растений.

б) Теплопроводность.

Теплопроводность - это процесс распространения теплоты от более нагретых частиц тела к менее нагретым, не сопровождается переносом массы вещества или излучением энергии в виде электромагнитных волн.

Теплопроводность обусловлена тем , что частицы воздуха (молекулы, атомы, электроны) обладают большой кинетической энергией и передают её менее быстрым частицам.

Передача теплоты теплопроводностью может осуществляться между любыми телами либо через промежуточную среду. Через вакуум теплота не передается, так как там отсутствуют частицы вещества. Процесс теплопроводности описывается законом Фурье:

 - градиент температур, показывает изменение температур на единицу длины  . Знак минус говорит, о том что энергия  переносится в сторону уменьшения температуры.

∆S- площадь поверхности. (1м2 ) , ∆t-время (1с). 

Пусть , ∆S=1м2 , ∆t=1с.

 

* (коэффициент теплопроводности)- численно равен количеству теплоты; переносимой через площадку 1м2 перпендикулярный потоку за 1с при градиенте температуры равным –1, он зависит от свойств среды.

  

 

*-зависит от природы вещества.

Интенсивностью теплового потока называется количество теплоты, переносимое в единицу времени через единицу площади поверхности:

 

Наибольшую теплопроводность имеют металлы. . Обусловлена переносом тепла потоком свободных электронов.

В живых организмах ткани имеют различные теплопроводности и это различные весьма существенно для теплового режима организма.

Значительная теплопроводность мышечных тканей ,позволяет быстро переносить тепло от внутренних органов к наружным (кожа), предохраняя внутренние органы от перегрева.

При низких температурах внешней среды слой жировой ткани

препятствует быстрой утечке тепла.

Распределение Максвелла (английский физик 1831-1879).

 Скорости каждой молекулы в пространстве скоростей соответствует точка. Распределение этих точек в пространстве характеризует распределение молекул по скоростям. Вследствие равноправности всех

Рис. 8.4

направлений движения, расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. (Рис. 8.4). Плотность точек в  пространстве будет зависеть только от модуля скорости . Для скоростей, лежащих в пределах от  до +d соответствующий объём в  пространстве  (объём сферического слоя). Число точек, находящихся в этом слое (каждая точка соответствует скорости отдельной молекулы) , где  плотность точек в пространстве (подобно тому, как из выражения (2) следует). Смысл   далее.

 Смысл функции распределения Максвелла.  – это число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от  до +d. Разделим выражение для  на N, тогда получим вероятность  того, что скорость молекулы окажется в пределах от  до +d.

 , где  имеет смысл объёмной плотности вероятности распределения скоростных точек в пространстве скоростей.

 Обозначим  функцию распределения молекул газа по скоростям. Вид функции F() был установлен теоретически Максвеллом. Опуская вывод (желающие могут ознакомиться с ним, например в [1] ) приведём окончательный результат:

Где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа,  – скорость молекулы. F() показывает, какая относительная доля молекул имеет скорость в интервале от  до +d (). Функция F() образована произведением функций вида  и  (Рис. 8.5). Функция F() нормирована на 1.


Элементы специальной (частной) теории относительности