Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности — отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=Rsina (рис. 100). На каждый бесконечно малый элемент длины Dl этого контура действует сила поверхностного натяжения DF = s Dl, касательная к поверхности сферы. Разложив DF на два компонента (DF1 и DF2), видим, что геометрическая сумма сил DF2 равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих DF1:

Разделив эту силу на площадь основания сегмента pr2, вычислим избыточное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

  (68.1)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

  (68.2)

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Dp.

Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа,* определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

  (68.3)

где R1 и R2 — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в дайной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

*П. Лаплас (1749—1827) — французский ученый.

Для сферической искривленной поверхности (R1=R2=R) выражение (68.3) переходит в (68.1), для цилиндрической (R1=R и R2=¥) — избыточное давление

В случае плоской поверхности (R1=R2=¥) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.

Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости — мениск — имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) rgh уравновешивается избыточным давлением Dp, т. е.

где r — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Если r — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2s cosq)/r = rgh, откуда

  (69.1)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая—опускается, из формулы (69.1) при q<p/2 (cosq>0) получим положительные значения h, а при q>p/2 (cosq<0) — отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (q=0) вода (r =1000 кг/м3, s = 0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h »3 м.

Капиллярные явления играют большую роль в природа и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ 

Энергия, работа и теплота. Сохранение энергии

  в термодинамике. Внутренняя энергия

 В механике работа, совершаемая над телом внешней силой F, находится интегрированием вдоль траектории движения элементарной работы, которая равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения тела dl :

 dA = (F*dl) . (2.1)

Понятие работы было введено для измерения количества энергии, передаваемой силовым, то есть механическим способом (чтобы отличать его от немеханического, теплового способа передачи энергии), и под работой всегда подразумевается макроскопическая работа на макроскопически наблюдаемом пути.

Следует сразу отметить, что хотя через работу и измеряется количество переданной энергии, но между работой и энергией имеется существенное различие, поскольку работа является функцией процесса, то есть зависит от соотношения в этом процессе разных способов передачи энергии. А энергия системы является функцией состояния системы, то есть функцией координат и импульсов составляющих ее частиц. При переходе системы из одного состояния в другое системой совершается разная работа при разных путях (траекториях) перехода, хотя изменение энергии системы будет одно и то же, то есть не существует закона сохранения работы в отличие от закона сохранения энергии. Хотя с точки зрения сохранения механической энергии это выглядит непонятным, но если учесть возможность передачи энергии без совершения макроскопической работы через микропроцессы, то есть тепловым способом (который не учитывается в механике), то все становится на свои места. В термодинамике можно изменять состояние системы, совершая над системой работу, связанную с макроскопическими перемещениями, но можно и сообщая системе некоторого количества теплоты, то есть совершая суммарную микроскопическую работу по изменению энергии микрочастиц, не связанную прямо с макроскопически наблюдаемыми перемещениями частей системы.

Теплота аналогична работе в том смысле, что она также является функцией процесса передачи энергии, а не функцией начального и конечного состояний системы. С точки зрения математики различие функций состояния и функций процесса проявляется в том, что элементарное изменение энергии термодинамической системы является полным дифференциалом (таким дифференциальным количеством, интеграл от которого по замкнутой траектории дает ноль), что справедливо для всех функций состояния. В то же время элементарная работа и элементарное количество теплоты в общем случае полными дифференциалами не являются, что часто фиксируется посредством специальной символики, чем мы тоже воспользуемся.

 Теперь мы можем написать в обобщенной форме закон сохранения энергии, который в термодинамике называется ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

  Q = dU + А (2.2)

 Это уравнение имеет прозрачный смысл и означает, что разность между полученной термодинамической системой теплотой (энергией, переданной системе тепловым способом) и работой (энергией, отданной системой окружению силовым, механическим способом) характеризует изменение энергетического состояния системы. Это энергетическое состояние системы описывается функцией, называемой внутренней энергией, которая (в отличие, как от теплоты, так и от работы) не зависит от способа перехода системы в данное состояние, то есть является функцией состояния.

Можно сказать и по другому: переданная системе теплота может быть потрачена как на изменение внутренней энергии системы (то есть суммарной, кинетической и потенциальной, энергии микрочастиц, не связанной с макроскопическим движением системы, как целого, и с взаимодействием с внешними телами), так и на совершение системой макроскопической работы против внешних сил. В адиабатном (без теплообмена с внешними телами) процессе Q = 0 и тогда dА = – dU, и смысл внутренней энергии U становится очевиден – это внутренняя энергетическая характеристика системы. В условиях теплоизоляции работа покоящейся как целое системы может совершаться только за счет внутренних энергетических ресурсов.

Иногда первое начало рассматривают как определение внутренней энергии, поскольку энергия покоящейся как целое системы может быть изменена двумя способами – совершением над системой работы или передачей системе теплоты. Поскольку в термодинамике обычно не интересуются движением системы как целого, и она просто предполагается покоящейся, то поступающая в систему энергия в любой форме должна вызвать изменение внутренней энергетической характеристики, которая и называется внутренней энергией.

Из уравнения (2.2) видно, что в теплоизолированной системе работа не зависит от пути перехода из начального состояния в конечное, в противном случае нарушится закон сохранения энергии. Действительно, если начальное и конечное состояние одно и то же, то работа должна равняться нулю, иначе это будет вечный двигатель (первого рода). Следовательно, внутренняя энергия есть функция состояния.

Для всякой функции состояния ее дифференциал может быть выражен через сумму частных производных, поэтому для внутренней энергии (считая ее функцией объема и температуры) ее дифференциал можно записать в следующем, часто используемом виде


Открытый Робертом Майером (1842) общефизический закон сохранения энергии (2.2) утверждал эквивалентность передачи энергии силовым и тепловым способами, что сразу породило стремление свести тепловые процессы к механическим (пусть на микроскопическом уровне). Таким образом, открытие общефизического закона сохранения энергии дало мощный толчок к развитию молекулярно-кинетической теории, и начала формироваться, наряду с феноменологической термодинамикой, механическая теория теплоты – статистическая механика.

Из уравнения (2.2) следует, что если термодинамическая система совершает циклический процесс (с поступлением в систему теплоты и совершением работы), в результате которого система возвращается в первоначальное состояние (то есть в состояние с той же самой внутренней энергией), то вся полученная системой теплота Q может быть (по крайней мере, теоретически) преобразована в работу A, то есть QA, поскольку U = 0. Таким образом, первое начало термодинамики, как общефизический закон сохранения энергии, не накладывает никаких ограничений на преобразование энергии хаотического движения микрочастиц в механическую энергию упорядоченных движений макроскопических тел. Это как раз то, что выполняют в технике тепловые машины. Коэффициент полезного действия этих машин отношение полной работы A, совершенной машиной за цикл, к полученной машиной за цикл теплоте Q) как будто может быть равным 100%, то есть A/Q =1. Однако все оказалось сложнее.

Для дальнейшего рассмотрения вопросов преобразования энергии нам надо рассмотреть влияние условий передачи теплоты, так как количество передаваемой теплоты, как уже отмечалось, является функцией процесса передачи. Для этого, прежде всего, необходимо, опираясь на понятия теплоты и температуры, ввести понятие теплоемкости.

Внутренняя энергия идеального газа

Определение. Внутренней энергией какого-либо тела называется энергия этого тела за вычетом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле сил. Она является функцией внутреннего состояния системы. Для идеального газа внутренняя энергия состоит из суммы энергий поступательного, вращательного и колебательного движений молекул. (Заметим, что в общем случае во внутреннюю энергию входят энергия взаимодействия атомов, энергия электронных оболочек, внутриядерная энергия и др.). Внутреннюю энергию одного моля идеального газа найдём, умножив число Авогадро на среднюю энергию одной молекулы:

Учитывая, что , получим:

т.е. внутренняя энергия идеального газа является функцией температуры и пропорциональна ей, а также зависит от числа степеней свободы молекул. То, что внутренняя энергия является функцией состояния системы, означает, что всякий раз, когда система оказывается в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущее этому состоянию значение, независимо от предыстории системы. Следовательно, изменение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое будет всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершался переход.

Свяжем внутреннюю энергию с теплоёмкостью. По определению теплоёмкость в процессе при постоянном объёме , для идеального газа

Соответственно


Элементы специальной (частной) теории относительности