Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):

где j12 и j21 — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q2 в точке нахождения заряда Q1 и зарядом Q1 в точке нахождения заряда Q2. Согласно (84.5),

поэтому W1 = W2 = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q3, Q4, ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

 (95.1)

где ji — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi, всеми зарядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

  (95.2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

  (95.3)

Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным j, из (95.1) найдем

где  - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

  (95.4)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость, Dj — разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (95.4), можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = — dW, откуда

 (95.5)

Подставив в (95.4) выражение (94.3), получим

  (95.6)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (95.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e0eS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Dj=Ed. Тогда

  (95.7)

где V= Sd — объем конденсатора. Формула (95.7) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

  (95.8)

Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение (88.2): Р ={e0Е.

Формулы (95.4) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о том, что энергия локализована в поле и что носителем энергии является поле.

Задачи

11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина e=2. [1,6 г/см3]

11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью s =1,5 нКл/см2 расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол a=45°. Определить поток вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r=10 см. [1,88 кВ×м]

11.3. Кольцо радиусом r=10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца в точке А. удаленной на расстояние а =20 см от центра кольца. [1 кВ/м]

11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью r =5 нКл/м3. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r1=2 см от центра шара; 2) на расстоянии r2=12 см от центра шара. Построить зависимость Е(r). [1) 3,77 В/м; 2) 13,1 В/м]

11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью t = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r1=2,5 см до r2=1,5 см? [18 Мм/с]

11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью s =1 нКл/м2. Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1=6 см и r2=10 см. [1,2 В]

11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q =1 нКл с расстояния r1 =10 см до r2 = 5 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]

11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином (e = 2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см2? [500 В]

11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью r =10 нКл/м3 по шару радиусом R = 5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e=6. Определить напряженности электростатического поля на расстояниях r1 = 2 см и r2 = 10 см от центра шара. [E1=1,25 В/м; E2=23,5 В/м]

11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (e = 7). Расстояние между пластинами d=5 мм, разность потенциалов U=500 В. Определить энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S = 50 см2. [6,64 мкДж]

11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С=10 пФ заряжен до разности потенциалов U=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]

11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В. Площадь каждой пластины S=100 см2, расстояние между пластинами d=1 мм, пространство между ними заполнено парафином (e = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]

Воспользуемся моделью идеального газа, чтобы рассмотреть изменение с изменением координаты давления газа, находящегося в однородном силовом поле, считая атмосферу газа изотермической. Пусть силовое поле направлено вдоль оси z (смотрите рис. 2), а потенциальная энергия одной молекулы в этом поле равна u. Тогда сила, действующая на одну молекулу f = -du/dz ( или fdz = - du), а изменение давления на dp при смещении на расстояние  dz находится как отношение суммарной силы F, действующей на все молекулы внутри малого объема dV = Sdz, к площади S, то-есть dp = F/S = ndV*f /S = ndz*f = - ndu.

  Используя уравнение состояния идеального газа (3.3) и считая температуру газа постоянной, имеем dp = dn*kT, что позволяет сразу получить соотношение dn/n = - du/kT, интегрируя которое получаем формулу Больцмана 

 n = no exp (- u/kT), (3.4)

показывающую распределение молекул газа в силовом поле. Здесь  no - концентрация молекул на уровне нулевого значения потенциальной энергии.

  Чтобы получить из уравнения (3.4) зависимость давления воздуха от высоты местности (предполагая постоянство температуры) надо вспомнить, что n = P/kT, а u = m1gh,  где m1 - масса одной молекулы, g - ускорение силы тяжести, h - высота, и тогда  P = Poexp (- m1gh/kT). Теперь, умножая числитель и знаменатель в показателе экспоненты на число Авогадро, и помня, что m1NA = M (масса моля), а kNA = R (газовая постоянная), получаем барометрическую формулу

 

 (3.5)

 Закон распределения частиц в поле силы тяжести был использован французским ученым Перреном (1909г) для наиболее точного (для своего времени) экспериментального определения числа Авогадро.

8. Электрическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Если q1=+q, q2= -q, расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении:

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

9. Электрическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Если q1=+2q, q2= -q, расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении:

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

10. Электрическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Если q1=+q, q2= -2q, расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении:

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

11. Электрическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Если q1=+q, q2= -2q, расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении:

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

12. Электрическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Если q1=+2q, q2= -q, расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении:

а) 2; б) 1; в) 3; г) 4.

13. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме гласит: «Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности». Укажите правильную математическую форму записи этой теоремы:

а) ; б); в) .

14. Дана система точечных зарядов в вакууме и замкнутые поверхности S1, S2 и S3. Поток вектора напряженности электрического поля равен нулю через:

а) поверхность S2;

б) поверхности S2 и S3;

в) поверхность S1;

г) поверхность S3.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)