Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле (см. § 137) может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е = ЕQ + ЕB. Так как циркуляция вектора ЕQ равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора ЕB определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

  (139.1)

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где e0 и m0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g — удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрических и магнитных явлений, не только смогла объяснить уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения (см. § 138), что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3×108 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857—1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D, Н в них преобразуются по определенным правилам.

Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Taк, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.

Магнитостатика с потенциальным магнитным полем.

 1. Основополагающая идея. Согласно фактам, в рамках одной и той же природной сущности, причина явления может описываться как однонаправленным вектором, так и центрально-симметричными векторами. Переход от одного вида векторной причины к другому сопровождается изменением физических свойств участников и причинно-следственной связи между ними. Приведём примеры известных симметрийно-физических переходов.

 Механическая сила, однонаправлено воздействующая на тело, входит во второй закон Ньютона. А образующие центрально-симметричное воздействие – скаляром в закон Гука (Рис.1). Различен физический отклик тела. В первом случае проявляется его свойство инерционности, во втором – упругости.

 Центрально-симметричное импульсное воздействие на микрочастицу отличается от однонаправленного. Оно делает её отклик таким, что частица одновременно движется в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями. Следствием является центрально- симметричное движение частицы (Рис.2), описываемое симметричной волновой функцией.

 Несмотря на хаотичность движения молекул, в каждой локальной области пространства образуется центрально-симметричная система векторов мгновенных скоростей. При замене трубы

замкнутым сосудом переносное аэродинамическое движение молекул переходит в газовые

состояния, описываемые скалярным уравнением Менделеева–Клапейрона.

 В максвелловской локальной электродинамике причина образования электромагнитного поля (ЭМП) описывается однонаправленным вектором плотности тока электрических зарядов () и однонаправленными переменными векторами индуктирующих полей (), ).

 В рамках фактов о двойственности векторной причины обоснованной является постановка задачи о теоретическом и экспериментальном исследованиях центрально-симметричных вариантов вещественного и индуктирующих источников, образуемых ими не максвелловских ЭМП.

 Такая задача была решена в виде построения 4-мерной математической модели безвихревой электродинамики, содержащей магнитостатику с потенциальным магнитным полем, безвихревые

виды индукционных явлений, продольно-скалярную электромагнитную волну (ЭМВ), световым диапазоном которой являются продольные фотоны.

 В настоящей статье мы ограничимся изложением основ магнитостатики с потенциальным магнитным полем.

Пример 18. Виток, по которому течет ток I=20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В=16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

где Ф1 и Ф2 — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

 (1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного мо­мента Рис. 17 pm контура сонаправлен с вектором В (рис. 17, а) и магнит­ный поток Ф1 максима­лен (a=0, cos a=1), т. е. Ф1=ВS (где S — площадь контура).

В ко­нечном положении (рис. 17, б) вектор pm перпендикулярен вектору B (a=p/2, cos a=0) и маг­нитный поток Ф2=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:

Так как площадь контура S=pd2/4. то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)