Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (140.1), где s=x:

  (141.1)

Согласно выражениям (140.4) в (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

  (141.2)

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (1412) равна

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

  (141.3)

или

 (141.4)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

  (141.5)

или

 (141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

  (141.7)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w0, т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 200 представлены графики зависимости x, T и П от времени. Так как ásin2añ = ácos2añ = 1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (14l.7) следует, что áTñ = áПñ = ½ E.

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6);

 (142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой

  (142.2)

и периодом

  (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

 (142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, Ft= –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

  (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

  (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

  (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

 (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

  (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Можно ли посредством

парселловской идеализации получить наглядную подсказку о форме токового источника,

образующего потенциальное магнитное поле (ПМП)? Заменим в первой идеализации поперечную магнитную силу на притягивающую продольную. Следствием стало изменение на 180°

направления тока i2, сопровождаемое соответствующим поворотом диаграмм релятивистских

  «сплющиваний» (Рис.6). При расходящихся противотоках продольная сила отталкивает сближающийся пробный заряд.

 Форма и количество релятивистского эффекта в поле каждого движущегося заряда, как в

однонаправленных, так и в центрально-симметричных токах, соответствуют специальной

теории относительности. Разнятся лишь симметрии наложения релятивистски преобразованных силовых линий (сгущённых и разряжённых) в области нахождения пробного заряда, что и явилось понятным ответом на поставленный вопрос.

 Предлагается условно считать сходящиеся центрально-симметричные токи отрицательным

магнитным псевдозарядом, а расходящиеся – положительным.

Два магнитных псевдозаряда (в дипольном источнике на рисунке 7) практически реализуются посредством двух пар разнесённых стационарных противотоков (i1, i2  и i3 , i4),

 A1 – А3 

 i3 i1 

 -m +m B ∑А = 0, ωH ≠ 0, ∑А ≡ |A|, - grad |A| = B.

 i4 i2 

 А2 – A4 

 Рис.7

в двух рядом расположенных прямоугольных многовитковых рамках.

Образование в области линии симметрии ПМП подтверждено экспериментально. [2], [3 ].

Монопольный источник описывается в [4]. 

Пример. 20. По соленоиду течет ток I=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y=LI, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y=ФN), получим

  (1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)