Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R»0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого Q2 (см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна  — возрастать.

Так как R»0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t=¼T, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г) и система к моменту времени t=Т придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2/(2C)) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,

где IR—напряжение на резисторе, Uc=Q/C—напряжение на конденсаторе,   – э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока (– единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,

  (143.1)

Разделив (143.1) на L и подставив  получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:

 (143.2)

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону

 (143.3)

где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w0, называемой собственной частотой контура, т. е.

  (143.4)

и периодом

  (143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))

  (143.6)

где Im=w0Qm — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

  (143.7)

где Um=Qm/C—амплитуда напряжения.

Из выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наоборот.

Поворотные симметрии полей и их источников. Понимание двойственности свойств магнитного поля (с замкнутыми и разомкнутыми силовыми линиями) будем достигать посредством анализа двойственности свойств электрического поля, которое может быть либо потенциальным, либо вихревым. Привлечём так же положение из учения о симметрии природных явлений, согласно которому поворотные симметрии причины и следствия не могут быть разными.

 В протяжённой электростатике эквипотенциальные поверхности поля скалярных

потенциалов j

j, (1)

образуемого электрическим зарядом q (двухосным тензором нулевого ранга), аналогичны

сферическим оболочкам, придающим электрическому полю двухосную (шарообразную) поворотную симметрию. Обе взаимно ортогональные оси имеет бесконечный порядок. При любом

повороте заряда и его поля в интервале 360 0 вокруг каждой из двух общих осей, распределе

ние по пространству потенциального свойства электрического поля остаётся неизменным.

  В протяжённой (1) и в бесконечно малой локальной (2)

div grad. (2)

электростатиках причинно-следственная связь объединяет скалярных участников с двухосными

симметриями.

 Согласно векторной алгебре, оператор пространственного дифференцирования grad повышает на единицу ранг любого тензора, а оператор div -- его уменьшает. При их совместном применении к скаляру φ его нулевой ранг сохраняется. 

 Индуктируемое вихревое электрическое поле c замкнутыми силовыми линиями характеризуется одноосной (цилиндрообразной) симметрией, согласующейся с такой же симметрией индуктирующего полевого источника в виде переменного магнитного поля с замкнутыми силовыми линиями.

 В локальной причинно-следственной связи

 rot  (3) оба участника описываются векторами (одноосными тензорами первого ранга).

 Псевдовекторный оператор rot не изменяет ранг вектора .

 Из приведенных примеров следует вывод о том, что двойственность свойств электрического поля обусловлена двумя разными поворотными симметриями источников. Двухосной у вещественного (q, ρ) и одноосной у полевого ().

 В протяжённой магнитостатике эквипотенциальные поверхности векторного магнитного потенциала  подобно полым цилиндрам охватывают отрезок проводника с током. При любом повороте поля и тока в интервале 360 0 вокруг общей продольной оси бесконечного порядка распределение по пространству векторных потенциалов не изменяется.

 Относительно поперечной оси токи и поле можно дискретно переворачивать на 1800 , но при этом их направления изменяются на противоположные.

 Цилиндрообразные симметрии циркуляционного магнитного поля и тока в отрезке проводника имеют по одной поворотной оси бесконечного порядка.

 В локальной магнитостатике источником поля является плотность тока зарядов, описываемая вектором (одноосным тензором первого ранга). При перевороте вектора на 1800 изменяется

его знак. Применение оператора rot к векторусохраняет его ранг.

 В локальной причинно-следственной связи

 rot rot = μ0 (4)

объединяются векторные участники с одноосной поворотной симметрией.

 По аналогии с локальной электростатикой (2) токовый источник ПМП должен быть скалярным с тем, чтобы обладать двухосной симметрией, согласующейся с симметрией поля.

 Локальную магнитостатику с ПМП запишем по аналогии с электростатикой (2)

 div grad. (5)

 В этом математическом акте нет произвола. Две локальные магнитостатики (Рис.8),

 в конечном счёте, обусловлены разными поворотными симметриями скорости движения одних

и те же электрических зарядов. А скорость движения зарядов есть векторная причина магнитного поля.

 В традиционной магнитостатике одноосность поворотной симметрии тока определяет однонаправленный суммарный вектора скорости

 r. (6)

 В центрально-симметричной магнитостатике система внутренних скоростей объективно не

обладает выделенным суммарным направлением. Поэтому в виде безнаправленного скалярного модуля вектора скорости входит в описание двухосной по своей симметрии плотности тока

 || = r || . (7)

 Двумя поворотными симметриями скорости движения электрического поля обосновывается двойственность магнитного потенциала

  = , (8) | | =. (9)

 В первом разделе были приведены факты реализации в природе двух видов векторной причины (механической силы и скорости), которые послужили основанием к построению математической модели безвихревой электродинамики, к теоретическому обоснованию существования магнитостатики с потенциальным магнитным полем. Теперь мы можем сделать дополнение. Однонаправленная и центрально-симметричные причины характеризуются соответственно одноосной и двухосной поворотными симметриями.

  Центральная мысль этого раздела заключается в следующем высказывании. Одной и той же природной сущности дозволяется обладать как одноосной, так и двухосной поворотной симметрией.

 Исходя из симметрийной природы двойственности векторной причины, решение частной задачи о потенциальном магнитном поле можно получить в составе всеохватывающей электродинамической теории с центрально-симметричными причинами образования электромагнитного поля.

 Из векторной алгебры известно, что скаляры являются тензорами нулевого ранга с двухосной симметрией, а векторы – первого ранга с одноосной. В таком случае двойственность ЭМП и его источников записывается в виде рангового преобразования

. (10)

Вместе с изменением поворотной симметрии геометрических величин изменяются симметрии их физических наполнений и причинно-следствнная связь. Известные явления, описываемые максвелловской электродинамикой, переходят в другое себя.

 Приравнивая нулю производные по времени в правой части равенства получаем традиционную электростатику (11) и магнитостатику с ПМП (12).

ÑÑ, (11) Ñ Ñ . (12)

 2. ПМП в микромире. В 2009 году в журналах Science, Nature News и других активизировались публикации об обнаружении в кристаллах титаната диспрозия, охлаждённых до температуры близкой к абсолютному нулю, феномена «магнетричества», сходного с током магнитных зарядов. Большинство исследователей полагают не причастным к феномену монополя Дирака.

 Вкрапления ПМП в спиновом льду образуются около крестообразно (Рис.9) расположенных пар противонаправленных векторов магнитных моментов.

 При нарушении одной пары в комбинации “два–к, два–от” проявляется потенциальное свойство магнитного поля около сохранившейся пары магнитных моментов.

 Исходя из предположения о едином механизме перехода магнитных свойств в макро- и микромире мы можем дать следующую интерпретацию наблюдаемым эффектам в спиновом льду.

 По аналогии с противотоками электрических зарядов, около каждой пары противоположно направленных векторов магнитного момента образуется центрально-симметричная полевая ситуация с нуль-векторным результатом геометрического суммирования магнитных векторов.

 Паре расходящихся векторов магнитного момента предлагается сопоставить положительный магнитный псевдозаряд. Паре сходящихся – отрицательный.

 У двух близко расположенных разноимённых магнитных псевдозарядов их разомкнутые силовые линии накоротко замыкаются. При расхождении магнитных векторов в одной из пар,

эквивалентный ей магнитный псевдозаряд перестаёт себя проявлять. Это позволяет регистрировать эффект воздействия на движущийся электрический заряд распрямившихся силовых

линий у сохранившегося магнитного псевдозаряда.

  3. Заключение. В макро- и микромире двойственность магнитного свойства допускает объяснение с привлечением одних и тех же положений.

 Основываясь на принципе суперпозиции мы можем обоснованно говорить о взаимной компенсации в центрально-симметричной полевой ситуации противоположно направленных замкнутых силовых линий.

  Согласно принципу сохранения энергии компенсируются не сами поля, а их исходные циркуляционные свойства, так как магнитная энергия в другую форму не превращается. Или превращается частично. Количество замещающего потенциального свойства эквивалентно имеющейся магнитной энергии.

 С одной стороны, теория ПМП в макромире даёт ясное понимание механизма образования в спиновом льду микроскопических вкраплений такого же поля, поскольку в обоих случаях имеет место центрально-симметричная векторная причина.

 С другой стороны, обнаруженные в микромире факты экспериментально подтверждают макроскопическую теорию.

 Тема ПМП имеет естественное продолжение.

  Приравняв нулю источники в (10) получаем описание связи между поперечной и

  продольно-скалярной ЭМВ

 , (13)

световым диапазоном которых являются поперечные и продольные фотоны. Магнитное поле в последних потенциальное.

 Потенциальное и вихревое свойства электрического поля анализируются с учётом фактов реализации в природе однонаправленной и центрально-симметричной векторной причины. Понимание двойственности полевых свойств достигается посредством привлечения положения учения о симметрии природных явлений, согласно которому поворотные симметрии причины и следствия не могут быть разными. С использованием полученного знания об электрическом поле обосновывается двойственность свойства магнитного поля и его источников. Выполненные автором опыты и экспериментальные факты о потенциальном поле в микромире свидетельствуют в пользу этого обоснования. Продолжением темы являются продольно-скалярные ЭМВ и их световой диапазон в виде продольных фотонов.

Пример 21. При скорости изменения силы тока DI/Dt в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием *

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)