Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Tax как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью w0, то разность фаз (j2—j1) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

  (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями

  (144.2)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j2—j1) складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j2—j1):

1) j2—j1 = ±2mp (т=0, 1, 2, ...), тогда A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) j2—j1 = ±(2m+1)p (т=0, 1, 2, ...), тогда A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w+Dw, причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

  (144.3)

Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда Аб, которого изменяется по следующему периодическому закону:

  (144.4)

Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w0:

 (144.5)

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье.* Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w0, 2w0, 3w0, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

* Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

  (145.1)

где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

  (145.2)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) a = mp(m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

  (145.3)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j=arctg. В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2m+1)(m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

 (145.4)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).

* Ж. Лиссажу (1822—1880) — французский физик.

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.

Описывает все электрические магнитные поля.

Первое уравнение:

Циркуляция по замкнутому контуру вектора напряженности электрического поля равна взятой со знаком минус скорости изменения магнитного потока через поверхность ограниченную контуром.

Физический смысл:

Изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое.

Второе уравнение:

Циркуляция по замкнутому контуру напряженности магнитного поля равна потоку через поверхность ограниченную контуром плотности тока проводимости плюс плотность тока смещения.

Физический смысл:

Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I=1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко­личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

  (1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

 (2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже­ние ее через ЭДС индукции, и сопротивление R соленоида, т. е.

Но  связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея —Максвелла: =-dY/dt, тогда

Интегрируя, получаем

 (3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y1=LI0; Y2=0, так как Y2 соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y1 и Y2 в формулу (3), получим Q=Y1/R, или

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами

где m0 — магнитная постоянная; N — число витков; l1 — длина соленоида; S1 — площадь сечения соленоида; r — удельное сопро­тивление провода; l—длина провода; S—площадь сечения про­вода; d—диаметр провода; d1—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа­метр d1 соленоида соотношением l=pd1 N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

Но l1/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q=363 мкКл.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)