Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

 (147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

 

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

  (147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

  (147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

  (147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

  (147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х0:

  (147.6)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных  в уравнение (147.6), получаем

  (147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

  (147.8)

  (147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

  (147.10)

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

  (147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

 (147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что  (см. (143.4)) и  (см. (146.11)):

  (147.13)

Продифференцировав Q=Qmcos(wt–a) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

 (147.14)

где

  (147.15)

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где j=a – p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

  (147.16)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>1/(wС), и опережает напряжение (j<0), если wL<1/(wС).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы. Это сделано в §149 для переменных токов.

Ротор и дивергенция

Дивергенция - поток через бесконечно малую поверхность.

Ротор - циркуляция по бесконечно малому контуру.

 - оператор Лапласа.

=

=

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Первое уравнение:

Ротор напряженности электрического поля равен взятой со знаком минус скорости изменения магнитной индукции.

Второе уравнение:

Ротор напряженности магнитного поля равен плотности тока проводимости плюс плотность тока смещения.

Третье уравнение:

Четвертое уравнение:

Частные случаи:

Пример 24. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч­ником течет ток I=2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан­тиметре длины соленоида равно 7 см-1.

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля оп­ределяется по формуле

. (1)

Напряженность Н магнитного поля найдем по формуле H=nl. Подставив сюда значения п (п =7 см-1=700 м-1) и I, найдем

H=1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (рис. 18) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H=1400 А/м со­ответствует магнитная индукция B=1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот­ность энергии:

ω=840 Дж/м3.

Пример 25. На железный сердечник длиной l=20 см малого се­чения (d<l) намотано N=200 витков. Определить магнитную прони­цаемость μ железа при силе тока I=0,4 А.

Решение. Магнитная проницаемость μ связана с магнитной индукцией В и напряженностью Н магнитного поля соотношением

B= μ0μH. (1)

Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как μ является функцией Н. Поэтому для определения магнитной прони­цаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 24.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:

μ =B/( μ0H).

Напряженность Н магнитного поля вычислим по формуле (ка­тушку с малым сечением можно принять за соленоид) Н=п1, где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее дли­ну l, получим

H=(N/l)I.

Подставив сюда значения N, l и I и произведя вычисления, най­дем

H=400 А/м.

По графику находим, что напряженности Н=400 А/м соответст­вует магнитная индукция B=1,05 Тл. Подставив найденные значе­ния В и Н, а также значение μ0 в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость:

μ=2,09 ∙103.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)