Электрический ток Закон Ома Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Электромагнетизм Закон Ампера Колебания и волны Электромагнитные волны Основные законы оптики Интерференция света

Лекции и задачи по физике Примеры решений контрольной работы

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dw <<w и dk<<k. Тогда

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что tdw —xdk = const, получим

  (155.1)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Выражение (155.1) получено для волнового пакета из двух составляющих, однако можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае.

Рассмотрим связь между групповой  (см. (155.1)) и фазовой v=w /k (см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что k=2p/l (см. (154.3)), получим

или

  (155.2)

Из формулы (155.2) вытекает, что u может быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака dv/dl. В недиспергирующей среде dv/dl=0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u<<с, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих воли. Это явление называется интерференцией волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2 (рис. 221), колеблющимися с одинаковыми амплитудой А0 и частотой w и постоянной разностью фаз. Согласно (154.7),

где r1 и r2 — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k — волновое число, j1 и j2 — начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (j1 – j2) = const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины D = r1 – r2, называемой разностью хода волн.

В точках, где

  (156.1)

наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания А=A0/r1 + A0/r2. В точках, где

  (156.2)

наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания А=|A0/r1+A0/r2|; m=0, 1, 2, ..., называется соответственно порядком нтерференционного максимума или минимума.

Условия (156.1) в (156.2) сводятся к тому, что

 (156.3)

Выражение (156.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках S1 и S2. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис. 221), отвечающих условию (j1 – j2)=0. Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 221 сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 221 штриховые линии).

Поляризация света. Двойное лучепреломление.

Вращение плоскости поляризации

 Обычные источники света испускают естественный свет, то есть свет, в котором имеются колебания светового вектора, совершающиеся в самых различных направлениях, перпендикулярных к лучу (рис.10). Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых его атомами. Процесс излучения отдельного атома продолжается около 10-8 с. За это время успевает образоваться последовательность горбов и впадин (или, как говорят, цуг волн), протяженностью примерно 3 м. «Погаснув», атом через некоторое время «вспыхивает» вновь. Одновременно вспыхивает множество атомов. Возбуждаемые ими цуги волн, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. Плоскость колебаний для каждого цуга ориентирована случайно. Поэтому в результирующей волне колебания различных направлений равновероятны. В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового

Рис.10

 
вектора происходят только в одной плоскости, Р проходящей через луч, свет называется плоско- (или линейно) поляризованным. Упорядоченность может заключаться еще и в том, что вектор  поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В результате, конец вектора  описывает или эллипс (эллиптически поляризованный свет) или окружность (поляризованный по кругу свет). Плоскость, в которой колеблется световой вектор , называется плоскостью колебаний, а перпендикулярная ей плоскость называется плоскостью поляризации. Плоскополяризованный свет можно получить с помощью различных устройств, называемых поляризаторами. Эти приборы пропускают свободно колебания, параллельные плоскости, которая называется плоскостью поляризатора, и полностью задерживают колебания, перпендикулярные этой плоскости. Поляризованный свет можно получить также при отражении от диэлектрика. Как показывает опыт, отраженный и преломленный лучи всегда частично поляризованы. Степень поляризации зависит от угла падения и

Рис.11.

 
показателя преломления.

 Изучая это явление, Брюстер установил (рис.11), что при определенном значении угла падения отраженный луч полностью линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. При этом отражается только та компонента вектора напряженности электрического поля, которая параллельна поверхности диэлектрика (условно эту компоненту обозначаем точками, то есть колебания   происходят перпендикулярно плоскости чертежа). Преломленный луч поляризован лишь частично. Угол падения, при котором отраженный луч полностью поляризован, называется углом Брюстера и определяется соотношением

 , (17) 

где n1 и n2 – абсолютные показатели преломления сред.

При этом угол между отраженным и преломленным лучами равен 90° . Действия различного типа поляризаторов основаны либо на законе Брюстера, либо на явлении

двойного лучепреломления, которое состоит в том, что в оптически анизотропных кристаллах луч света, падающий на поверхность кристалла, раздваивается в нем на два преломленных луча (рис. 12). Один из них лежит в плоскости падения, подчиняется законам преломления света и называется обыкновенным лучом (о). Второй не удовлетворяет этим условиям и называется необыкновенным (е). Двойное лучепреломление свидетельствует о том, что падающая на оптически анизотропный кристалл световая волна возбуждает две волны, распространяющиеся  в кристалле по различным направлениям. Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы. Направления векторов  в этих волнах условно показывают точками на обыкновенном луче и черточками на необыкновенном. В одноосном кристалле скорость обыкновенного луча  численно одинакова по всем направлениям: , где n0 – показатель преломления кристалла для обыкновенного луча. Соответственно, для необыкновенного луча: . Значения ne и  зависят от направления необыкновенного луча по отношению к оптической оси кристалла (это направление в кристалле, вдоль которого не наблюдается двойное лучепреломление). Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси,  ne = n0, .

Задачи

1. Бесконечно длинный провод с током I= 100 А изогнут так, как показано на рис. 1. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

2. Магнитный момент pm тонкого проводящего кольца pm=5 A∙м2. Определить магнитную индукцию В в точке А, находящиеся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r=20 см (рис. 2).

3. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I=100 A). Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 3). Расстояние d=10 см.

4. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке 4, течет ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

5. По тонкому кольцу радиусом R=20 см течет ток I=100 A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 5). Угол β = π/3.

6. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1 и I2=2I1 (I1=100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d = 10 см (рис. 6).

7. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 7, течет ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

8. По тонкому кольцу радиусом течет ток I=80 A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние r=10 см (рис. 8). Угол α = π/6.

9. По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I=60 A. Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d=10 см (рис. 9). Угол β = π/3.

10. Бесконечно длинный провод с током I=50 A изогнут так, как это показано на рис. 10. Определить магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии d=10 см от его вершины.

11. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I=40 A. Длина стороны треугольника а=30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

12. По контуру в виде квадрата идет ток I=50 A. Длина стороны квадрата а=30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

13. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника течет ток I=60 A. Длина сторон прямоугольника равны а=30 см и b=40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

14. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника. Длина стороны шестиугольника d=10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток I=25 A.


Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея)