Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лабораторные работы по физике. Курс по разделу механика

Лабораторная работа 108

Определение коэффициента восстановления и времени соударения упругих шаров

1. Основные законы механики

Законы сохранения в механике

В природе существует несколько законов сохранения; одни из них считают точными, другие - приближенными. Законы сохранения обычно являются следствием симметрии пространства и времени.

В механике же существует три закона сохранения, относящиеся к движению и взаимодействию материальных тел: закон сохранения импульса и момента импульса и закон сохранения энергии. Мы рассматриваем эти законы в нерелятивистской области, в которой справедливы преобразования Галилея. Все три закона согласуются с принципом относительности Галилея.

Законы сохранения не зависят от траектории и характера действующих сил. Они могут быть использованы и в тех случаях, когда силы неизвестны, так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

Законы сохранения оказывают существенную помощь при решении задач: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения, только после этого, если в задаче ничего не упущено, переходят к решению дифференциальных уравнений движения.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.

В случае взаимодействия двух тел А и В изменение количества движения тела А равно: , (1)

где fA - сила, действующая на тело А со стороны тела В,  - время, в течение которого действует сила fA. При этом предполагается, что сила fA постоянна в течение промежутка времени . Аналогично, изменение количества движения тела В равно:

. (2)

По третьему закону Ньютона , время действия тела А на тело В равно времени действия тела В на тело А. Откуда:

. (3)

Следовательно,

. (4)

Полученное равенство справедливо и в случае переменных сил и носит общий характер. Равенство (4) означает, насколько в результате взаимодействия количество движения одного тела, увеличилось, настолько количество движения второго тала уменьшилось, т.е. произошла передача количества движения. Формулу (4) можно переписать в виде:  (5), т.е. при взаимодействии двух тел общее изменение их количества движения равно нулю, откуда следует, что их общее количество движения:  остается постоянным.

Этот результат может быть обобщен на любое число тел, образующих замкнутую систему, т.е. таких тел, которые взаимодействуют друг с другом, но не взаимодействуют ни с какими внешними по отношению к системе телами. Полагая, что система состоит из n тел, и обозначая, их количество движения соответственно через , получим:

, (6)

т.е. полный вектор количества движения замкнутой системы, представляющий собой векторную сумму количества движения тел, образующих замкнутую систему, остается постоянным во все время движения.

Называя силы взаимодействия между телами системы внутренними силами, можно сказать; под влиянием внутренних сил система не может изменить своего полного количества движения. Под влиянием внутренних сил могут прийти в движение лишь отдельные части системы относительно друг друга.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса  материальной точки относительно произвольно выбранной точки в пространстве определяется векторным произведением:

. (7)

Вращающий момент, действующий на материальную точку относительно фиксированной точки, определяется выражением:  . (8)

Дифференцируя выражение (7) по времени, получим:

. (9)

Принимая во внимание:

 (10)

и второй закон Ньютона  получим:

. (11)

Таким образом, приходим к важному выводу: , (12)

 т.е. скорость изменения момента импульса равна моменту вращения.

Если М=0, то  = пост. Момент импульса постоянен в отсутствие моментов вращения. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса для материальной точки.

Этот результат легко распространить на систему из материальных точек. Для этого нужно разбить силы, действующие на материальные точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних и внешних сил, действующих на i-ю материальную точку обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение (12) для i-й материальной точки запишется в следующем виде:

 (i=1,2,3,…,N). (13)

Сложив аналогичные уравнения для всех материальных точек тела, получим:

 (14)

Величина  называется моментом импульса системы материальных точек.

Нетрудно показать, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Если обозначить сумму моментов  внешних сил буквой , то для системы точек получим выражение, которое по форме совпадает с (12):

. (15)

Для замкнутой системы материальных точек М=0 и суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, мы вновь пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Рассмотрим как систему материальных точек некоторое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной оси Z. Момент импульса материальной точки относительно оси Z определим по формуле:

. (16)

Теперь представим вектор  в виде трех составляющих:

 - параллельной оси Z,  - коллинеарной вектору  и

-перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось Z и

вектор  (рис.1).

 Рис.1

Заменяя в (16) вектор  суммой составляющих, получим:

 (17)

Здесь вектор  перпендикулярен к оси Z, поэтому его составляющая вдоль оси Z равна нулю, вектор  сам равен нулю в силу коллинеарности векторов  и .

Для системы материальных точек: 

Но , поэтому:  (18)

(Здесь использовано условие, что векторы  и  взаимно перпендикулярны).

В выражении (18) - момент инерции системы материальных точек (или тела) относительно оси Z. Следовательно,  (19)

Подставляя выражение (19) в (15), получим:   (20)

Из этого выражения следует, что если сумма составляющих моментов внешних сил вдоль фиксированной оси равна нулю, то момент импульса системы материальных точек относительно этой оси не зависит от времени (сохраняется).

 (21)

Если со временем может меняться момент инерции тела, то угловая скорость вращения тела относительно данной оси тоже изменится. Но произведение их останется постоянным, которое для двух моментов времени можно записать так:

 (22)


На главную