Механика Закон сохранения импульса Молекулярная физика и термодинамика Реальные газы, жидкости и твердые тела Электростатика Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Лабораторные работы по физике. Курс по разделу механика

Параметры распределения случайных величин

Законы распределения являются полными характерис-тиками случайных величин. Но они не всегда удобны для практики. На практике чаще случайную величину характеризуют определенными числовыми параметрами, связанными с законом ее распределения. Основные из них: математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием М (X) случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 (9)

Определение математического ожидания требует знания закона распределения вероятностей. Если он не выявлен, то вычисляют среднее арифметическое значение случайной величины X, т.е.

 (10)

Согласно закону больших чисел :

 (11)

Таким образом, математическое ожидание М(х) является центром распределения вероятностей случайной величины Х и оценивается одним числом, т.е. М(х)= Const.

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания как центра (см.рис.I). Степень рассеяния или разброса этих значений характеризуют величиной, называемой дисперсией D(х) случайной величины.

Дисперсией D(х) называют математическое ожидание квадрата отклонений возможных значений случайной величины от ее математического ожидания:

 (12)

Таким образом, дисперсия предcтавляет средний квадрат отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Формулу (12) можно выразить через средние величины в удобной

для вычислений форме:

  (13)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Поэтому для сопоставления и оценки рассеяния возможных значений случайной величины около математического ожидания вводят понятие среднего квадратичного отклонения, имеющего в отличие от дисперсии такую же размерность, как и случайная величина.

Средним квадратичным отклонением σ случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

 (14)

В теории ошибок σ называют средней квадратичной ошибкой.

Непрерывные случайные величины

К непрерывным случайным величинам относятся такие случайные величину, которые могут принимать любые значения в некотором интервале числовой оси. Примером может служить результат измерения, записанный на самописце, мгновенные значения скорости теплового движения молекул газа и т.п. Так как в атом случае невозможно перечислить вое значения случайной величи-ны и указать их вероятности, непрерывную случайную величину характеризуют вероятность того, что те или иные ее значения попадают в определенные заданные интервалы области ее возможных значений. При этом вводится понятие функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины  - отношение вероятности  попадания случайной вели - чины х в тот или иной интервал  ее значений к величине этого интервала:

 (15)

Функцию f(х) называют дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X, ее размерность обратна размерности случайной величины. Тогда вероятность того, что отдельное значение случайной величины Х окажется в интервале от Х до Х + dx можно записать так:

 (16)

График функция f(x) называется кривой функции плотности распределения вероятностей. Форма его может быть различной для распределений разных случайных величин. На рис. 1а приведена типичная кривая распределения результатов многократного измерения.

 Рис.1

Если функция распределения вероятностей известна, при помощи интегрирования можно найти вероятность попадания значения Х в любой интервал (-∞, х):

  (17)

Функция F(x) – первообразная для функции f(x) плотности распределения вероятностей – называется интегральной функцией рас­пределения непрерывной случайной величины. Она определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше заданного Х (см.рис.1б). Вероятность для случайной величины Х принять значение, лежащее между а и в, равна разности интегральных функций распределения для значений в и а:

 (18)

На графике (рис.1а) вероятность δ численно равна заштрихованной площади, ограниченной линией графика, осью абсцисс и ординатами при Х = а и Х = в , если площадь под всей кривой принять за единицу.

Непрерывная случайная величина считается заданной, если известны ее функции распределения F(x) или f(x). При расчетах c непрерывными случайными величинами выражение f(x)dx играет ту же роль, что и вероятности Рi для дискретных величин. Поэтому во многих формулах достаточно заменить Pi на dx, а сумму - соответствующим интегралом, чтобы перейти от формулы для дискретных величин к формуле для непрерывных величин.

Исходя из определения вероятности, очевидно, что должны иметь место следующие соотношения:

 или  (19)

Эти соотношения называются условиями нормировки функции плотности распределения вероятности и во многих случаях позволяют рассчитать искомую функцию f(х). Они выражают условие того, что вероятность обнаружить случайную величину во всем интервале ее возможных значений представляет достоверное событие.

Дня непрерывной случайной величина с плотностью распределения f(x) математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x) вычисляются по формулам:

 или  (20)

При решении практических задач имеют дело с различными законами распределения физических величин. Так, в задачах, относящихся к редким случаям (например, радиоактивный распад в проблемах флуктуации и т.п.), используется распределение Пуассона. В теории ошибок основную роль играет закон нормального распределения (распределение Гаусса).

Гипотеза о функции нормальногораспределения случайных ошибок

Пусть в некотором ряде измерений возможность промахов устранена, а систематические ошибки исследованы и полностью исключены. Тогда разность между результатом измерения Хi и истинным значением измеряемой величины X0 равна истинной случайной ошибке отдельного измерения

 (21)

Центральная предельная теорема Ляпунова утверждает, если среди членов суммы нет таких, которые доминируют над всеми остальными, то сумма бесконечного числа случайных величин распределена нормально. Теория ошибок основана на гипотезе, что случайная ошибка удовлетворяет требованиям этой теоремы и поэтому распределена нормально. В силу равенства (21) результат отдельного измерения Хi также будет нормально распределенной случайной величиной.

Нормированная нормальная функция распределения Гаусса для генеральной совокупности 1) результатов 2) измерения Х имеет вид:

 (22)

где е - основание натуральных логарифмов, М(Х) - матема-тическое ожидание случайной величины, равное ее истинному значению, т.е. М(Х) = Хо, σ2 - дисперсия случайной величины, σ - среднее квадратичное отклонение.

Учитывая, что , а математическое ожидание ошибки , можно записать распределение истинных погрешностей:

 (23)

Распределения (22) и (23) имеют одинаковую дисперсию и отличаются лишь центрами распределения М(Х)=Х0 и М(∆Х)=0.

График функции плотности нормального распределения называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса.

Ошибка среднего арифметического

Выборочной метод

Погрешности косвенных измерений Часто приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем шара  можно вычислить, измерив его радиус R . Также измерения называются косвенными.

Использование косвенных измерения в методе малых выборок В настоящее время нет универсального способа оценки границ доверительного интервала при заданной надежности для результата косвенных измерений. Поэтому здесь дается простой, хотя и недостаточно строгий метод такой оценки.

Графическое представление результатов измерений Для наглядного представления взаимной связи физических величин и их закономерного изменения результата наблюдений представляют графически.

 


На главную